Непрерывные функции.

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если она определена в этой точке и если предел функции в этой точке равен значению функции в точке a.

Раскрыв определение предела, можно дать развёрнутое определение непрерывной функции в точке.

Например, приведём определение непрерывной функции в точке по Коши.

Определение: Функция f(x) непрерывна в точке a, если для любого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число b, такое, что для любого

По аналогии с различными типами предела вводится также понятие непрерывности функции в точке a справа(слева).

Определение: Функция f(x) называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Например, f(x) непрерывна на интервале, если она непрерывна на каждой точке интервала. f(x) непрерывна на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой внутренней точке отрезка и кроме того непрерывна в точке а справа и в точке b слева.

Определение: Точки ,в которых не выполняются условия непрерывности ,называются точками разрыва.

Классификация точек разрыва функции Точка устранимого разрыва.

Определение: Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если существует предел функции в точке а , то сама функция либо не определена в этой точке, либо ее значения отличаются от предельного значения функции в точке а.

Пример: Рассмотрим функцию .

Вычислим предел этой функции в точке О.

Рассмотрим произвольную последовательность, сходящуюся к 0.

Соответствующую последовательность можно представить в виде

т.е. как произведение двух последовательностей и

Последовательность является ограниченной, а бесконечно малой.

Произведение ограниченной на бесконечно малую дает бесконечно малую.

Разрыв в точке устранимого разрыва можно устранить не изменяя значения функции в остальных точках.

Разрыв первого рода (конечный скачок)

Опр. Точка а называется точкой первого рода, если в этой точке существуют конечные левые и правые пределы, отличные друг от друга.

Пример. Рассмотрим функцию

Эта функция неопределенна в точке 1

Рассмотрим левые и правые пределы этой функции при х→1.

Пусть произвольная последовательность значений аргумента сходящейся к 1 справа, тогда бесконечно малая последовательность, принимающая положительные значения.

Последовательность бесконечно большая последовательность, состоящая из положительных чисел.

Последовательность - бесконечно малая последовательность.

- бесконечно большая последовательность.

Пусть теперь сходится к 1 слева, тогда последовательность - бесконечно малая, состоящая из отрицательных чисел.

Последовательность бесконечно большая последовательность, составленная из отрицательных чисел. - бесконечно малая последовательность, а последовательность - сходящаяся последовательность.

В точке x = 1 правый предел равен 0, левый предел равен 1.