Предел функции.

Определение предел функции по Гейне: число b, называется пределом функции , в точке a, если для любой последовательности значений аргумента сходящихся к точке a, и состоящих из элементов отличных от числа a. Соответствующая последовательность значений функций сходится к числу b.

Если имеет предел в точке a=b, то это записывают в виде:

Определение предела функции по Коши: число b, называется пределом функции , в точке a, если для любого положительного числа , найдётся отвечающее ему положительное число , такое, что для всех значений , следовательно

Неравенство (6) можно представить в равносильном виде , при , последние двойные неравенства, означают, что элемент х берётся в проколотой -окрестности точки .

a

Неравенство 7 означает, что значения функции принадлежат значению -окрестности точки b.

Требование определения Коши, заставляющее брать элементы последовательности отличные от a и равносильные ему требования определения Коши, рассматривать значение аргумента из проколотой -окрестности точки , позволяющей рассматривать пределы функции, даже в тех точках, в которых функция не определена.

Теорема: Определение предела функции по Гейне и Коши равносильны.

При исследовании функций приходится видеть пределы, когда значение аргумента стремится к точке а, принимая значения >a (< a). В этом случае говорят о правых и левых пределах функции f(x) в точке а.

П ример: Рассмотрим функцию

Функция sgn x имеет правый предел в нуле

равный 1.Левый предел в нуле равен -1

Так как для любой последовательности сходящейся к 0 и состоящей из положительных чисел, соответствующая последовательность

Если к 0 и принимает отрицательные значения, то соответствующая последовательность значений функции состоит из -1

Таким образом видим, что функция sgn x имеет односторонние пределы, но не имеет предела в точке 0.

При исследовании функции приходится также видеть пределы при стремлении аргумента к . Дадим определение такого предела по Гейне.

Определение: Число b называется пределом функции f(x) при x ∞ обозначается , если для любой бесконечно большой последовательности значения аргумента {x_n}, соответствует последовательность значений функций {f(x_n)}.

В некоторых задачах видим пределы при стремлении аргумента:

Из определения функции по Гейне и из соответствия теорем о пределах сходящихся последовательностей вытекают теоремы:

Если функции f(x), g(x) определены на одном и том же множестве и имеют пределы в точке а , то функции имеют пределы в точке, а соответственно равных: b±c, b*c, ,причем в случае частного необходимо потребовать, чтобы предел c, был не равен 0.

Пример 1. ,так как y=x, последовательность значений аргументов совпадает с последовательностью значений функций, , а так как последовательность аргументов сходится к а, то и последовательность значений функций сходится к а

Пример 2.

3. Определитель φ-го вида

Определим предел

Исходя из примеров 1 и 2 и приведённой теоремы, получим, что этот предел будет равен

4. Пусть наряду с многочленом задан многочлен

Выражение называется рациональной дробью.

Из приведённой теоремы вытекает

Таким образом замечаем, что предел рациональной дроби равен значению дроби в предельной точке ,при этом необходимо потребовать, чтобы .

Функция, обладающая таким свойством, называется непрерывной.

Теорема: Пусть две функции f(x) и g(x) заданы на одном и том же множестве {x} и имеют в точке а предел, соответственно равный b и c, тогда функции f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) имеют в точке а пределы, соответственно равные b+c, b-c, b*c, b/c(в последнем случае c не равно 0).