- •Отношение эквивалентности
- •Свойства бинарных отношений
- •Метод Гаусса . Решение систем линейных уравнений.
- •Метод Крамера. Определитель второго и третьего порядков.
- •Элементы комбинаторики.
- •Свойства числа сочетаний
- •Определитель n-го порядка.
- •Разложение определителя по строке (столбцу).
- •Правило Крамера
- •Следствия из теоремы.
- •Решение матричных уравнений
- •Комплексные числа
- •Алгебраические операции над комплексными числами.
- •Линейные пространства
- •Линейная зависимость векторов .
- •Базис. Размерность.
- •Ранг матрицы
- •Матрица перехода
- •Система линейных уравнений
- •Теорема Кронекера - Капели
- •Система линейных однородных уравнений
- •Система однородных уравнений.
- •Линейные преобразования
- •Евклидово пространство
- •Свойства скалярного произведения
- •Процесс ортоганизации.
- •Векторная алгебра.
- •Скалярное произведение векторов в ортогональном базисе.
- •Двойное векторное произведение
- •Уравнение прямой и плоскости
- •Уравнение плоскости
- •Некоторые задачи о прямых и плоскостях.
- •Уравнение плоскости, проходящее через три заданных числа.
- •Расстояние от точки a до плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расстояние между непараллельными прямыми в пространстве.
- •Кривые второго порядка
- •Уравнение касательной к эллипсу
- •Гипербола
- •Парабола
- •Поверхность второго порядка
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Конус второго порядка
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Математический анализ
- •Абсолютная величина u ее свойства
- •Последовательности.
- •Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Сходящиеся последовательности .
- •Монотонные последовательности.
- •Число е
- •Функция
- •Предел функции.
- •Непрерывные функции.
- •Классификация точек разрыва функции Точка устранимого разрыва.
- •Разрыв первого рода (конечный скачок)
- •Разрыв второго рода.
Монотонные последовательности.
Определение: Последовательность {Xn} называется монотонной, если она является либо не убывающей, либо невозрастающей.
Определение: Последовательность {Xn} называется неубывающей (невозрастающей), если все элементы этой последовательности, начиная со второго удовлетворяют неравенству .
Неубывающая и невозрастающая последовательность называются монотонной последовательностью.
Теорема(теорема о сходимости некоторой ограниченной последовательности): Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), эта последовательность является сходящейся.
Доказательство: Система отрезков { } наз. стягивающейся системой отрезков, если недостающий отрезок в предыдущем и если длина отрезка 0 при n
Следствии: У всякой стягивающейся системы отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.
Число е
Рассмотрим последовательность рациональных чисел n-ый член которой определяется
(2)
Покажем что последовательность n-ый член которой определяется соотношением (2), является сходящейся. Для этого покажем, что эта последовательность является возрастающей и ограниченной сверху.
Используя формулу Бинома – Ньютона соотношение 2 можно представить виде:
=
Используя выражение для числа сочетаний , получим:
=
Перепишем последнее соотношение в виде
= (3)
Используя представление (3), выпишем выражение для (n+1) элементов последовательности (4):
В выражении (3) присутствуют n слагаемых, в выражении (4) – (n+1) слагаемых.
Заметим, что последнее слагаемое в выражении (4) положительное.
Сравним между собой к-ое слагаемое соотношений (3),(4), где к меняется от 2 до n
k-ое слагаемое в соотношении (4) будет иметь вид:
Сравнивая к-ые слагаемые, замечаем, что к-ое слагаемое выражения (3) < k-ого слагаемого выражения (4). Откуда вытекает выполнение неравенства: , т.е. рассматриваемая последовательность является возрастающей.
Покажем, что эта последовательность является ограниченной. Заменим в выражении (3) каждую круглую скобку 1. В результате получим неравенство:
(5)
Используя очевидное соотношение
Используя очевидное неравенство для и оценки (5) получим что
Используя формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии парвую часть представем в виде
Рассматривая последовательность возрастающую и которая ограниченна сверху следовательно она имеет придел. Следуя Леонарду Геллеру этот предел обозначается в виде
Вещественное число
Если последовательность является бесконечно большой то её предел равен бесконечности
Если не является сходящейся то её называют расходящейся.
Функция
Определение: Если каждому значению переменной Х ,принадлежат некоторые области,соответствует одно определённое значение другой переменной Y есть функция от Х,или записи y=f(x),y= (x). ( -независимая переменная)
Определение: Совокупность значений Х,для которого определяются значения функции Y,называются областью определения функции.
Пример:
Определение:
Если функция y=f(x) такова,что большему значению аргумента Х,соответствует наибольшее значение функции,то y=f(x) называется возрвстающей(убывающей).
Если каждое значение Х принадлежит области,соответствующих значений Y,или бесконечно много Y,то функция называется многозиатной.
Способы образования функций.
1)Табличный (выписываются значения аргумента ,и соответствыющие значения ).
2)Графический.