Процесс ортоганизации.

Пусть -некоторая система линейно независимых векторов. Эту систему векторов можно рассматривать как базис k-мерного пространства. Установим процесс, позволяющий находить ортогональнальный базис .Выберем вектор .Вектор при условии, что (ортогональный).

Для того, чтобы найти вектор , нужно вычислить ,для этого умножим скалярно .

Вектор .Для определения величин ,умножим

Тогда ;

Продолжая указанный процесс, построим ортогональную систему векторов

Пример: Система векторов задана в ортогональном базисе, с помощью ортогональнализации. Построим ортогональный базис некоторой оболочки, на заданных векторах:

Пусть

Вычислим скалярное произведение:

Построена ортогональная система векторов.

Процесс ортогонанизации позволяет определить геометрический смысл определения матрицы Грамма.

Если пространство одномерное, то любой ненулевой вектор этого пространства

является его базисом. Тогда произведение векторов

Если пространство двумерное, то любая пара линейно независимых векторов образуют базис этого пространства.

В трёхмерном пространстве определитель матрицы Грамма равен квадрату объёма параллелепипеда построенного на заданных векторах.

Обобщая с помощью матричного понятия объёма можно говорить о n-мерном объеме с точки зрения единообразия длину называют одномерным объемом, площать двумерным объемом. Заметим, что если базисные вектора заданы в ортонормированном базисе, то записав координаты векторов в виде матрицы ,

матрицу Грамма можно представить в виде

Переходя к определителям , получим

Взяв координаты векторов в ортогональном базисе и вычислив определитель, найдём величину объёма параллелепипеда, построенного на базисных векторах.

Векторная алгебра.

Определение:Вектором будем называть направленный отрезок (упорядоченную пару точек).

Определение:Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют равные длины.

Суммой двух векторов и называется вектор , определяемый по правилу параллелограмма или по правилу треугольника.

Произведением вектора на вещественное число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

а)

b) вектор коллинеарен вектору

c) векторы и направлены одинаково, если , и противоположно, если

К векторам относятся также нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.

Сложение векторов и умножение вектора на число удовлетворяют следующим свойствам :

1) коммутативность

2) ассоциативность

3)

4)

5) ассоциативность относительно числовых множителей

6) дистрибутивность относительно сложения чисел

7) дистрибутивность относительно сложения векторов

8)

Разностью векторов и называется сумма вектора и вектора, противоположного , то есть вектора .

Вычитание определяется через сложение, и мы не будем считать его отдельной операцией.

Применяя линейные операции, можно составлять суммы векторов, умноженных на числа.

Выражение такого вида называют линейной комбинацией векторов.

Линейная зависимость векторов.

Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю.

Определение: Векторы называют линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная нулю, в противном случае векторы линейно независимы.

Определение: Базисом в пространстве называют три линейно независимых вектора.

Определение: Базисом на плоскость называются два линейно независимых вектора на этой плоскости.

Определение: Базисом на прямой называют любой ненулевой вектор на этой прямой.

Если - базис в пространстве и , то числа называют компонентами (координатами вектора в данном базисе). Аналогично определяются компоненты вектора на плоскость и на прямую.

Утверждение 1: Равные векторы имеют одинаковые компоненты.

Доказательство. Предположим противное, вектор равен вектору

И они имеют разные компоненты

→

Если бы , то получили бы линейную зависимость базисных векторов , что противоречит определению базиса.

Утверждение 2: При умножении вектора на число все его компоненты умножаются на это число.

Доказательство: Пусть тогда

Утверждение 3: При сложении векторов, складываются их соответствующие компоненты.

Пусть ,

Система координат.

Фиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М. Радиус-вектором точки М по отношению к точке О называют вектор .

Если в пространстве кроме точки О выбрать некоторый базис, то точке М можно сопоставить упорядоченную тройку чисел – компонент ее радиус-вектора.

Определение: Декартовой системой координат в пространстве называют совокупность точки О (начало координат) и базиса.

- компоненты радиус-вектора т.М по отношению к началу координат называются координатами т.М в рассматриваемой системе координат.

- Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован наз. декартовой прямоугольной системой координат.

Деление отрезка в заданном отношении

Найдем координаты т.М на отрезке АВ, которая делит этот отрезок в отношении / , т.е.

удовлетворяет условию:

Последние условие можно переписать в виде:

Обозначив через и

Соответственно координаты точек А и В, а через координаты т.М

Разложив обе части по базису, найдем:

=>

=>

=>

Эти формулы известны под названием формул деления отрезка в заданном отношении.

Скалярное произведение векторов.

- Скалярным произведение двух векторов называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение считают равным 0

Скалярное произведение обозначается в виде:

Очевидны след. свойства операции скалярного умножения для любых векторов

1. Скалярное умножение коммутативно

2. для любого вектора

3. Скалярное произведение равно 0 тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен 0

4. Векторы ортонормированного базиса удовлетворяют соотношениям

Утверждение 4: Если базисные вектора ортогональны, то компоненты любого вектора находятся по формулам

В частности, если базис ортонормированный, то

Доказательство: пусть , где , ,

Нам видно из рис. где - угол между и , с другой стороны и из определения умножения вектора на число => => , где значения выбираются в зависимости от того, одинаково или противоположно направления векторы и . Таким образом Аналогично выражаются остальные компоненты .

Утверждение 4: Для любых векторов и любых чисел выполняется равенство (дистрибутивность, линейность).

Доказательство: если ,то утверждение очевидно . Пусть ,примем за первый вектор базиса и выберем остальные ортогональные к нему и между собой базисным векторов. Выражение согласно утверждению 4 первые компоненты вектора , точно также и - первые компоненты векторов так как при умножении вектора на число , компоненты умножаются на число , а при сложении векторов складываются соответствующие комноненты.

Имеет место равенство

= +

Отсюда прямо вытекает требуемое равенство.