Абсолютная величина u ее свойства

Абсолютной величиной а, называют:

Свойство 1: если w>0 то неравенство равносильно двум неравенствам

Доказательство. Пусть тогда раскрыв величину модулей получим

С другой стороны число , .

Пусть, а<0 то ,

С другой стороны, а<0 w>0

а<w

Докажем это утверждение в другую сторону. Пусть а удовлетворяет неравенству ,

=>

Из двух чисел и – будет положительным, будет совпадать с модулем.

С помощью первого свойства удобно задать окрестность т. , принадлежит окрестности , если выполняется неравенство

Используя первое свойство

; ;

Свойство 2: Модуль суммы сумме модулей

Для доказательства 2 свойства запишем очевидные неравенства

Складывая почленно выписанные неравенства

-

Согласно первому свойству, последние неравенство переписываем в виде

Свойство 3: Заменив во втором свойстве на -

Свойство 4

Для доказательства свойства 4 представим

Рассмотрим модули от левой и правой части

+

Согласно свойству 3

Заменив в свойстве 4 на - получим

Последовательности.

Определение: Если каждому значению n из натурального ряда {1,2,3,…,n} ставится в соответствие некоторое вещественное число, то множество занумерованных вещественных чисел называется числовой последовательностью

Отдельные числа Хn называются элементами или членами последовательности,

Последовательность может быть задана различными способами:

1)Словесным описанием: числа 0,3; 0,33; 0,333, являются последовательностью рациональных чисел приближающих число по недостатку с точностью до 0,1: 0,01: 0,001, …

2)Последовательность может быть задана заданием формулой, для вычисления n-го члена последовательности.

Пример:

3) Последовательность может быть задана с помощью рекуррентной формулы. При этом задаются несколько членов последовательности и формула, позволяющая вычислить следующие члены последовательности исходя из заданных:

Пример:

Последовательность, приведённая в последнем, примере называется последовательностью Фибоначе.

Одну и ту же последовательность можно задавать различными способами, например, арифметическая прогрессия может быть задана:

Вычитая из первого выражения второе, получим:

Пусть наряду с последовательности задана последовательность (2)

Тогда последовательность

называется суммой последовательностей (1) и (2) и обозначается .

Последовательность

называется разностью последовательностей (1) и (2) и обозначается .

Последовательность

называется произведением последовательностей (1) и (2) и обозначается .

Последовательность

называется частным последовательностей (1) и (2) и обозначается . При этом элементы последовательности y должны быть отличны от нуля (≠0).

Определение: Последовательность называется ограниченной сверху(снизу), если существует такое вещественное число M(m), такое что все элементы последовательности удовлетворяют неравенству . При этом M(m) называется верхней(нижней) гранью последовательности.

Пример:

1)

-2; -4: -8; -16

Эта последовательность ограничена сверху.

2)

2, 4, 8, 16

Эта последовательность ограничена сверху.

Определение: Последовательность называется ограниченной с обоих сторон или просто ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Понятие ограниченности последовательности можно записать в эквивалентном виде.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое положительное число А, что все элементы последовательности удовлетворяет неравенству (4)

Покажем, что оба определения равновесны.

Пусть элементы последовательности удовлетворяют неравенству (4).

Согласно первому свойству абсолютной величины можно записать в следующем виде .

Взяв в качестве M = A, m = -A, убедимся в справедливости формулы (3).

Пусть наоборот элементы последовательности удовлетворяют неравенству (3). Обозначим через А наибольшее из двух чисел , тогда из справедливости неравенства (3) будет вытекать справедливость неравенства .

Пример:

1/3; 1/9; 1/27

И мы видим, что всякая последовательность, ограниченная только сверху или снизу, не является ограниченной.

Определение: Последовательность является ограниченной, если для любого положительного числа А найдётся элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству

Определение: Последовательность является неограниченной, если для любого положительного числа А найдётся элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству

Пример: неограниченная последовательность

>

>

>

Определение: Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного вещественного числа А найдется номер N, такой что для любого будет выполняться неравенство >А.

Примером бесконечно большой последовательности является пример

неограниченной последовательности.

Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной последовательностью.

Но не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой последовательностью.

Пример: 1,2,1,4,1,6 1,2n

Определение: Последовательность называется бесконечно малой последовательностью, если для любого положительного числа ε найдется номер N, такой что для всех будет выполняться неравенство < ε.

Пример: Покажем, что последовательность является бесконечно большой при условии >1 и бесконечно малой при условии <1.

Рассмотрим случай с бесконечно большой последовательностью >1

, где >0, тогда

Все слагаемые суммы, стоящие в правой части будут положительны.

Учитывая что , можем записать

Зафиксируем некоторое положительное число А и подберем номер N так, чтобы выполнялось неравенство >А, то есть N> .

Этому неравенству заведомо удовлетворяет число , которое можно записать в виде

Поскольку >1, то для всех номеров будет выполняться цепочка неравенств

> >А.

При >1, рассматриваемая последовательность является бесконечно большой.

Рассмотрим теперь случай с бесконечно малой последовательностью.

Пусть <1, тогда , или

и эта величина > .

Получили оценку, что <

Зафиксируем некоторое положительное число q и определим номер исходя из условий

<q >

Так как <1, то для всех номеров n будет справедлива цепочка неравенств

< <q

Таким образом показали что при <1 получаем бесконечно малую последовательность (геометрическую последовательность)