Эллипсоид

Рассмотрим поверхности вращения, получаемые от вращения эллипса вокруг оси симметрии.

Рассмотрим уравнение эллипса в виде:

, где а>с

С учетом формул (1) поверхность вращения эллипса вокруг малой оси будет иметь вид: (2)

Вращая эллипс вокруг большей оси, т.е рассматривая уравнение

получим поверхность вращения в виде

(2’’)

Первая поверхность называется сжатым эллипсоидом вращения:

Вторая поверхность дает нам вытянутый эллипсоид вращения:

Преобразуем поверхность 2, сжав каждую точку эллипсоида вращения к поверхности y=0,т.е. совершим преобразование

тогда получим поверхность, уравнение которой будет иметь вид

(3), где

Поверхность определяемая уравнением (3) называется эллипсоидом

Частным случаем эллипсоида, при a=b=c является поверхность сферы, уравнение которой имеет вид

Конус второго порядка

Рассмотрим на плоскости P пару пересекающихся прямых задаваемых в системе координат , уравнение . (4)

Вращая пару пересекающихся прямых (4) вокруг оси z(аппликат), получим поверхность вращения , уравнение которое имеет вид:

(5)

Поверхность (5) носит название прямого кругового конуса

Сжав точки поверхности конуса в плоскости y=0 , преобразование

Получим поверхность вида (6)

Поверхность заданная уравнением (6) называется конусом второго порядка или просто конусом .

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение (6), называется конусом или конусом второго порядка. Конус состоит из прямы линий, проходящих через начало координат. Сечение конуса плоскостью с уравнением при резке представляет собой эллипс.

Однополостный гиперболоид

Определение: Однополостный гиперболоид вращения это поверхность вращения гиперболы: . (7)

Из уравнения (7) видим , что ось z является мнимой осью гиперболы .Вращая гиперболу (7) вокруг оси z , согласно уравнению (1) получим поверхность уравнение которого будет иметь вид:

Сжав точки однополостного гиперболоида вращения к плоскости y=0 , получим поверхность уравнение которой будет иметь вид

(8)

Определение: Поверхность, определяемая уравнением (8) называется однополостным гиперболоидом.

С однополостным гиперболоидом связаны замечательные прямые , называемые образующими . Все точки образующей прямой лежат на поверхности однополостного гиперболоида .Через каждую точку однополостного гиперболоида проходит пара пересекающихся образующих .Уравнения образующих прямых можно получить выполнив следующие преобразования уравнением (8).

Перенесём в уравнение (8)переменную у, в правую часть ,в результате получим:

Используя формулу разности квадратов, последнее уравнение получается в виде:

(9)

Исходя из представлений (9),можем записать уравнение прямой, определяемое двумя пересекающимися плоскостями.

(10)

Каждая точка удовлетворяющая системе (10),удовлетворяет выражению (10), и следовательно, лежит на одной гиперболе. Вторую можно задать плоскостями, выбрав другую комбинацию строк:

(11)

Чтобы найти уравнение образующей прямой необходимо подставить координаты точек однополосной гиперболы в систему (10) или (11),и определить пару (М; , определённую с точностью до множителя. Если вместе с гиперболой вращать его асимптоты, то получим поверхность конуса, называемым асимптотическим конусом вращения. После сжатия однополосного гиперболоида вращения, асимптотический конус вращения превращается в асимптотический конус.