Свойства бинарных отношений

Определение: Отношением на множестве элементов Х называется рефлексивным, если о любом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении с самим собой (х х).

Если бинарное отношение представлено в виде декартовой диаграммы, то для того, чтобы это отношение было рефлексивным, необходимо чтобы прямая y=х принадлежала подмножеству вершины графа. Если бинарное отношение представлено в виде графа,то каждая вершина графа обязательно содержит петлю.

Определение: Отношением на множестве Х называется симметричным если из того, что элемент х находится в отношении ρ с эквивалентным элементом у, следует что у находится в отношении с элементом х (х у у х).

Если бинарное отношение задано декартовой диаграммой, то для того чтобы оно было симметричным необходимо, чтобы множество было симметричным относительно прямой х═у. Граф симметричных бинарных отношений наряду со стрелкой х→у обязан содержать стрелку у→х.

Определение: Отношение на множестве Х называется транзитивным, если из того что элемент х находится в отношении с элементом у и у находится в отношении с элементом z, следует что элемент х находится в отношении с z

х у и у z х z.

Пример:

3<4 4<6 3<6

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок х→у, у→z обязан содержать стрелку х→z.

О пределение: Бинарное отношение ( ) на множестве Х называется отношением эквивалентности, если для любых элементов х, х’, х”  Х выполняются условия:

А) х х рефлексивность

Б) х х’ х’ х симметричность

В) х х’ u х’ х’’ х х’’ транзитивность

_

Подмножество X= x, х’ Х называется классом эквивалентности, порождаемым элементом х. Любой элемент  называется представителем класса.

Пример:

Рассмотрим множество целых чисел Z. Введем на множестве Z бинарное отношение равноостаточности при делении на 5. Очевидно, что в этом случае выполняются все условия эквивалентности. Объединим в один класс все целые числа, дающие один и тот же остаток при делении на 5. Получим разбиение множества Z на 5 классов.

…, -11, -6, -1, 4, 9, 14, 19,…

…, -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18,…

…, -13, -8, -3, 2, 7, 12, 17, …

…, -14, -9, -4, 1, 6, 11, 16, …

…, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, …

Утверждение1: Совокупность классов эквивалентности множества Х является разбиение этого множества на непересекающиеся подмножества.

Доказательство: є . Рассмотрим класс эквивалентности, порождаемый элементом х. Отношение эквивалентности обладает свойством рефлективности, следовательно , откуда следует, что элемент є . В силу произвольности выбора х можем записать, что множество Х = .

Докажем, что классы эквивалентности не пересекаются.

Предположим противное. Класс эквивалентности и класс эквивалентности ’’ пересекаются. Тогда cсуществует элемент є , є ’’. Класс порождается элементом , класс ’’ порождается элементом ’’. Поскольку элемент є , то имеет место эквивалентность ~ Аналогично, т.к. є ’’, то имеет место эквивалентность ’’ . Используя свойство симметричности и транзитивности, получаем

’’ => ’’ ’ , ’’ => ’ ’’.

Получили противоречие. Класс и класс ’’ совпадает.

Утверждение2: Если имеется какое-либо разбиение множества на непересекающиеся подмножества , то подмножества будут являться классами эквивалентности относительно некоторого отношения эквивалентности.

Доказательство: По условию каждый элемент є содержится только в одном подмножестве ( є ). Чтобы подмножество было классом эквивалентности достаточно считать, что два элемента , - эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат одному подмножеству .

Применение отношения эквивалентности чаще всего укладывается в следующую схему:

1. На множестве задается отношение эквивалентности (множество разбивается на классы)

2. Изучаются преобразования не выводящие за пределы рассматриваемых классов.

3. Используя найденные преобразования, находят простейшие представители класса.