Система линейных уравнений

Рассмотрим систему уравнений общего вида

(1) её можно переписать в виде

Решение системы (1) сводится к задаче о разложении столбца свободных членов по столбцам . Для этого необходимо и достаточно, чтобы столбцы расширенной матрицы и столбцы матрицы коэффициентов имели одинаковые ранги.

(2) (3)

rang = rang (4)

Теорема Кронекера - Капели

Критерии совместности системы линейных уравнений.

Для совместной системы (1) необходимо и достаточно чтобы rang = rang (расширенной) (соотношение (4)).

С помощью теоремы Кронекера – Капели можно реализовать другой подход к решению систем линейных уравнений.

Пример. Решить систему уравнений.

Выпишем матричные коэффициенты А

Найдем ранг матрицы А по формулам окаймляющих миноров.

- корневой определитель.

rang A = 2

Вычислим rang расширенной матрицы А.

rang = 2

Общее решение представлено в виде

Система линейных однородных уравнений

Система линейных однородных уравнений

(5)

Система однородных уравнений всегда совместна , так как она с одной стороны обладает нулевым решением с другой стороны нулевой столбец не может изменить ранга матрицы коэффициентов . Заметим для того, чтобы однородная система уравнений обладала не нулевым решением, нужно потребовать, чтобы ранг матрицы коэффициентов был меньше числа неизвестных .

Множество решений системы однородных уравнений обладает любопытными свойствами .

Свойства:

1)Если вектор является решением системы однородных уравнений , то вектор также является решением системы однородных уравнений.

Доказательство : i – тое уравнение системы (5) можно представить в виде

Пусть вектор с координатами , является решением системы(5) тогда .Подставим координаты в левую часть i – того уравнения получим

Так как вектор является решением системы (5) , получим что выражение было искомое . В силу произвольности выбора i –того уравнения свойство 1 доказано.

2) Если вектора и являются решением системы (5) , то их линейная комбинация также является решением системы (5) .

Доказательство : Пусть вектор и является решением системы (5) .Составим линейную комбинацию векторов и .

Подставим координаты линейной комбинации в i-тое уравнение системы (5).Получим

В силу дистрибутивности следует

Так как вектора является решением системы (5)получим .

В силу произвольности выбора i –того уравнения свойство 2 доказано.

Доказанные свойства позволяют говорить о множестве решений систем линейных однородных уравнений как о линейном пространстве .

Система однородных уравнений.

(1)

Множество решений системы (1) является линейным пространством , ранее линейное пространство определяемое базисом , порождающим линейное пространство.

Определение: Базис пространства решений системы (1) называется фундаментальной системой решения.

Теорема: Если ранг r матрицы коэффициентов r<n, то система обладает фундаментальной системой решений.

Доказательство: Пусть для определенности базисный минор порядка r, расположенного в верхнем левом углу, тогда систему(1) можно переписать в эквивалентном виде:

(2)

Корневой определитель системы (2) . Общее решение системы может быть получено по методу Крамера в зависимости от n-r параметров. Найдем n-r частных решений системы (2), таким образом, что бы значения свободных параметров образовывали единичную матрицу порядка n-r.

Построенная система векторов, линейно независима, т.к. составлена из координат векторов матрицы

Замечаем в этой матрице минор порядка

Для доказательства теоремы остается доказать, что любое решение системы(1) является линейной комбинацией выписанных векторов.

Возьмем произвольный вектор , являющийся решением системы(1), рассмотрим вектор ,

Согласно свойствам решений, однородных линейных уравнений, вектор также является решением системы(1).

Заметим, что в координатной форме можно представить в виде:

Являясь решением системы, , должен удовлетворять соотношением (2), причем свободные параметры равны 0.

Решая систему (2) при нулевых параметрах, получим что

т.е. является нулевым и произвольное решение системы(1) можно представить в виде: , т.е. построена система векторов является фундаментальной системой решений для системы(1).

2.28 Пример:

Найдем общее решение по методу Гаусса.

RangA=2

общее решение

Для построения фундаментальной системы общего решения, рисуют вспомогательную таблицу.

v v

	2	1	0	0
		0		1

Решение можно представить в векторном виде, - произвольные величины.

Для построения фундаментальной системы решений, не обязательно использовать единичную матрицу, необходимо записать матрицу порядка n-r, которая отлична от нуля.

В некоторых случаях приходится решать обратную задачу, при заданном базисе найти систему уравнений, решение которой совпадает с линейным пространством, натянутый на этот базис.

Пример: пусть базис состоит из векторов и .

Рассмотрим произвольный вектор , вектор является линейной комбинацией векторов . . Это означает, что вектора , линейно зависимы, то есть ранг матрицы коэффициентов составленных из этих векторов не может равняться 3.

Составим из коэффициентов векторов матрицу:

Разложение будет иметь место, когда ранг матрицы, составленный из векторов . Элементарными преобразованиями строк записанной матрицы, решим вопрос о рангах матрицы векторов , и ранге расширенной матрицы

~ ~ ~

~ ~ ~

~

ранг расширенной матрицы=2

Таким образом, получили систему уравнений.

Линейные неоднородные уравнения

(3)

Наряду с системой (3) рассмотрим соответственную систему однородных уравнений

(4)

Система (4) называется приведенной системой неоднородного уравнения (3), непосредственно проверкой устанавливаются следующие свойства в системы (3)

1⁰ Пусть произвольные решения системы (3), тогда являются произвольным решением системы (4).

2⁰ Если некоторое решение системы (3), то общее решение системы (3) имеет вид , где -фундаментальная система решения приведенной системы решений (3) в векторном виде.

Таким образом, общее решение системы (3) представлена в векторном виде.

(5)

В соотношение (5) - частное решение системы (3); - вектора фундаментальной системы решений (3).

Частным случаем представления (5) является векторное, параметрическое уравнение прямой.

Определение: Множество решений системы (3) называются линейным многообразием.

Из выражения (3) следует, что линейное многообразие получается из линейного пространства сдвигом на некоторой вектор частного решения.

Пример: решите систему неоднородных уравнений в векторном виде.

Пусть параметры нулевые.

	0	1	1	0	0
	0	1	0	1	0
	1	-5	0	0	3

Общее решение можно представить в виде: