Геометрична прогресія

(Урок-семінар у 9 класі)

Тема. Геометрична прогресія. Розв'язування прикладних задач.

Мета: узагальнити та систематизувати знання учнів про геометричну прогресію; виховувати інтерес до математики; сприяти творчому розвитку учнів.

Обладнання: таблиці, дидактичний матеріал.

Література: Непман И .Я. За страницами учебника математики. — M.: –Просвещение, 1989.

Хід уроку

І. Актуалізація опорних знань.

1. Закінчити речення (усно):

а) Геометричною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, …

б) n-й член геометричної прогресії дорівнює добутку його першого члена на...

в) Будь-який член геометричної прогресії з додатними членами, починаючи з другого, дорівнює...

2. Назвати два наступні члени прогресії:

а)

б) 1; - 3; 9;...

в) 5;-5; 5;...

3. Як можна записати сьомий член геометричної прогресії через її третій член ?

4. У геометричній прогресії =3 , q = 2. Чому дорівнює b₄ ?

5. Виконати дії:

а)

б)

в)

г)

д)

II. Розв'язування прикладних задач.

Учитель. Геометрична прогресія застосовується для стандартизації металорізального інструменту, в техніці математичного опису процесу радіоактивного розпаду, в банківській справі під час нарахування відсотків на вклад та надання кредитів. Навіть зростання площі місячного диска у перші 5 днів відбувається за законом геометричної прогресії.

Послухаємо повідомлення, що ви підготували до уроку.

Із виступів знавців історії У знайдених під час розкопок папірусах, яким налічується понад 2000 років, виявлені задачі на прогресії. Це наштовхує на думку про те, що прогресії люди знали ще з давніх часів і використовували їх для розв'язування прикладних задач.

Задача 1. Індійський принц Сідам (VI ст.) запропонував винахіднику шахів таку винагороду, яку тільки той захоче. Винахідник попросив, щоб за першу клітинку шахової дошки йому дали одну пшеничну зернину, за другу — дві, за третю — чотири і т. д. за кожну наступну клітинку у два рази більше, ніж за попередню. Чи можна було виконати таке прохання?

Розв'язання

Таку нагороду не можна було видати, оскільки кількість зернин становить:

1 + 2 + 2²+2³+... + 2⁶³ = = 18 447 644 073 709 551615.

Якщо таку кількість зернин рівномірно розсипати по всій земній поверхні, то утвориться шар пшениці товщиною 9 мм.

Задача 2. (Із «Арифметики» Магницького.) Продавець продав коня за 156 крб. Але покупець, придбавши коня, передумав і повернув його господарю, кажучи: «Нема мені користі купувати за таку ціну коня, який таких грошей не вартий». Тоді продавець запропонував інші умови: «Якщо ціна за коня дуже висока, то купи лише цвяхи для його підков, а коня одержиш безплатно на додачу. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший дай мені всього — к., за другий — к., за третій — 1 к. і т. д.» Покупець, спокусившись низькою ціною та бажаючи безплатно придбати коня, прийняв умови, думаючи, що за цвяхи доведеться заплатити не більше 10 крб. На скільки покупець проторгувався?

Розв'язання

За умов, що запропонував продавець, покупець заплатив таку суму грошей:

+2+ = = 4 194 303 (к.) ≈ 42 000 (крб).

Отже, покупець переплатив близько

42 000 - 156 = 41 844 (крб).

Задача 3. У газеті, що була видана у 1914 p., описувалася справа, яка відбулася у місті Новочеркаську, про продаж отари, що має 20 овець, за такими умовами: за першу вівцю слід заплатити 1 к., за другу — 2 к., за третю — 4 к. і т.д. У яку суму обійдеться вся отара?