6.4.2. Ротатабельные планы второго порядка

Как мы установили, план второго порядка, представленный в табл.6.10, не обладает свойством ротатабельности. Ротатабельным называют планиро­вание, для которого дисперсия отклика (выходного параметра) у , предсказан­ного уравнением регрессии, постоянна для всех точек, находящихся на равном расстоянии от центра эксперимента. Экспериментатору заранее не известно, где находится та часть поверхности отклика, которая представляет для него особый интерес, поэтому следует стремиться к тому, чтобы количество инфор­мации, содержащееся в уравнении регрессии, было одинаково для всех равно­отстоящих от центра эксперимента точек. Действительно, удаление от центра точек 5,6,7,8 в V2 =1,414 раза меньше, чем удаление точек 1, 2, 3, 4 (см. рис. 6.3, а), и, следовательно коэффициенты уравнения регрессии определяются с различной дисперсией. Бокс и Хантер предложили ротатабельные планы 2-го порядка. Для того чтобы композиционный план был ротатабельным, величину звездного плеча а выбирают из условия

к

к-\

а = 2⁴ при к<5 и а = 2⁴ при к>5 (6.326)

или в общем случае

185

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

k-p

а = 2 ⁴ ,

где к - число факторов; р - дробность реплики (для ПФЭ р=0, для полуреплики р=1, для четвертьреплики р=2 и т.д.).

Число точек в центре плана п₀ увеличивают. В табл. 6.11 приведены зна­чения а и По для различного числа независимых факторов.

Таблица 6.11 Значения звездных плеч и числа точек в центре ротатабельных планов

Параметр плана	Значения параметров при числе независимых факторов
	2	3	4	5	6	6	6	7	7
Ядро плана	22	23	24	2Ь	г\Ь-"\	26	/рб-1	2'	г\('-1
Звездное плечо	1,414	1,682	2,00	2,378	2,00	2,828	2,378	3,333	2,828
Число точек в центре плана п0	5	6	7	10	6	15	9	21	14

Поясним идею выбора значения звездного плеча а на примере матрицы ротатабельного планирования второго порядка для к=2, представленной в табл. 6.12.

Размещение точек этого плана показано на рис. 6.3,6. Для обеспечения ротатабельности точек 5, 6, 7, 8 необходимо удалить их от центра плана на

расстояние а в V2 =1,414 раз большее, чем удаление точек 1, 2, 3, 4 от осей х₂ и х-i. В результате этого все точки плана (табл. 6.12) оказываются лежащими на окружности. Учитывая существенно большее влияние на функцию отклика слу­чайной ошибки в точке 9, рекомендуется ставить в этой точке плана не один, а несколько дублирующих опытов (в данном случае опыты с 9 до 13) для усред­нения полученных результатов и для осуществления статистического анализа результатов всего эксперимента в целом.

Таблица 6.12 Ротатабельный план второго порядка

Номер опыта	Факторы						Результат У
	Хо	Х1	х2	XiX2	х-i2	х22
1 Ядро 2 плана 3 4	+1 +1 +1 +1	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	+ 1 -1 -1 +1	+1 +1 +1 +1	+1 + 1 + 1 +1		У1 У2 Уз У4
Звезд- 5	+1	+1,414	0	0	2	0		У5

186

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ные	6	+1	-1,414	0	0	2	0	Уб
точки	7	+1	0	+1,414	0	0	2	у7
	8	+1	0	-1,414	0	0	2	Ув
	9	+1	0	0	0	0	0	Уэ
Центр	10	+1	0	0	0	0	0	Ую
плана	11	+1	0	0	0	0	0	Ун
	12	+1	0	0	0	0	0	У12
	13	+1	0	0	0	0	0	У13

Учитывая специфический характер ротатабельного плана в общем виде, можно также получить формулы для расчета коэффициентов уравнения рег­рессии и их дисперсий:

Ь₀

A

24(k ₊ 2K-k]^:

2A,²(k + 2)(oy)-2Xc ^(iiy)

1=1

п

A

bj =(c/n)(iy);

b_;;

n

c²[(k + 2)X-k](iiy) + c²(l-X)X(iiy)-2Xc(oy)

1-1

1 c² ( \

b_;„ =(iuy);

₂ 2АЯ²(к + 2) ₂

S = S

°Ь₀ '-'восп'

n

2 A[(k + l)A-(k-l)c² Д

i i / i

S² ■

ВОСП ?

n

S_b

2 ^C o2

=s

b '-'восп'

(oyblXy,

(iuy) = ix,

где

y_f;

x„,y,;

j=i

J=l

&y)=5>

«Ур

(Н_У)=£х_у²_У];

J-l

n

1

с

j=l

2

A

(I)

(II)

(III)

(IV)

(V)

(VI)

(VII)

(VIII)

(IX) (X)

J-l

187

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

пк к(п, +п„)

Х=-7 Г = / s ■ (XI)

(k + 2jnj (к + 2)гц

Здесь По- число опытов в центре плана; г\-\ - число остальных опытов. Матрица ротатабельного планирования, оказывается неортогональной,

так как

Xx0j'xu,²^0; Х^хц²'^хч²^0; i^u- (6.33)

Следовательно, если какой-либо из квадратичных эффектов оказался незначимым, то после его исключения коэффициенты уравнения регрессии не­обходимо пересчитать заново.

При использовании ротатабельных планов второго порядка дисперсию воспроизводимости можно определить по опытам в центре плана. В связи с этим при проверке адекватности уравнения регрессии, полученного по ротата-бельному плану второго порядка, поступают следующим образом.

Находят остаточную сумму квадратов

S² = ^(у,- -уj)² (6.34)

с числом степеней свободы

{к + 2)(к +1)

т_х - п — 1 - п

2 По опытам в центре плана определяют сумму квадратов воспроизводи-

мости

$2 =Х(Уо; ~Уо;)² (6.35)

с числом степеней свободы т₂ = п₀ -1.

Далее находят сумму квадратов, характеризующих неадекватность

S3² = S1² - S₂² , число степеней свободы которой

(к + 2)(к + \) т₃ =т_х-т₂ = п (п₀ -1).

2

188

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Проверяют адекватность по F-критерию:

So /тз F = —^ . (6.36)

Уравнение адекватно, если F<F_a;_m3;m2-

Если модель второго порядка оказалась неадекватной, следует повто­рить эксперименты на меньшем интервале варьирования факторов или пере­нести центр плана в другую точку факторного пространства. В тех случаях, ко­гда адекватность модели по-прежнему не достигается, рекомендуется перейти к планам третьего порядка.