3.2.2. Построение доверительного интервала для дисперсии

При построении доверительного интервала для дисперсии используется случайная величина %² (читается: "хи-квадрат"),

₂ ^ [ JC. - X | /7-1

^j 2

*, ; ^

(-1

а^{2 х}" (3.32)

которая имеет так называемое распределение Пирсона (по имени анг­лийского математика и биолога К.Пирсона), или _х²-распределение ("хи-квадрат-распределение").

Плотность распределения случайной величины %² описывается уравне­нием

4²)= А Лг¥-*?\ 0<х²<о>,

^v ' 2 -r(ir/2) (3.33)

где Г(т/2) - гамма - функция; т - число степеней свободы (при построении до­верительного интервала т = л-1).

На рис.3.3 приведены кривые f(%²) для различных значений т. Эти кри­вые асимметричны, причем асимметрия особенно резко выражена при малых значениях параметра т. Так, при т =1 и %²=0 кривая уходит в бесконечность, а при т = 2 и х²=0 она достигает максимального значения, равного 0,5. При т>2 кривые имеют максимум при х²тах = т - 2. При больших значениях т (т>30) %²-

распределение переходит в нормальное со средним значением fix¹) = 4Ъп-\ и дисперсией а²=1.

Для построения доверительного интервала для дисперсии рассмотрим соотношение

Д^</<4)=^-^ (3.34)

и с учетом (3.32) решим стоящее в скобках неравенство относительно а_х² :

62

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

P(SJ

п-1

<ст <S

п-1

^х 2

2

Xi

) = Р₂ -Р]

(3.35)

п-1

22

п-1

SZ ^ OZ

х г ^{< СТ}х ^< ^х ₂

±1 ± ^

(3.36)

есть доверительный интервал для дисперсии а_x² с доверительной вероятно­стью Р= Р₂ - Р₁=1-а.

f (%²) 0,5 0,4

0,3 --0,2 --0,1 --

0

F(%²) 1,0 -■ 0,8 --

0,6 --0,4 --0,2

a

б

2

4

6

m=1

8

10

12

14

16

18

х²

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18 х²

Рис.3.3. Плотность распределения (а) и функция распределения (б)

X

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Как и при построении доверительного интервала для математического ожидания в технических приложениях обычно принимают Pi=a/2 и P₂=1-a/2, a a выбирают равным 0,1 или 0,05, реже 0,01.

Квантили распределения Пирсона находят по таблицам (см. [11] или табл. П.З), а в Microsoft Excel для этого используется функция ХИ20БР.

Границы доверительного интервала для среднего квадратичного откло­нения а_х находятся путем извлечения квадратного корня из значений довери­тельных границ для дисперсии.

В примере 3.1 по трем выборочным значениям 351, 370 и 365, S² _HB =97

при a = 0,05 (Pi=0,05/2=0,025 и P₂=1-0,05/2=0,975; ХИ2ОБР(0,025;2) = 7,377779 и ХИ2ОБР(0,975;2) = 0,050636) доверительный интервал для дисперсии твер­дости составит

97 <сг2<97 , или после вычислений 26<<т2<3880, а довери-

7,38 0,05

тельный интервал для среднего квадратичного отклонения будет равен

5 < сг < 62.