6.4.1. Ортогональные планы второго порядка

В общем виде план, представленный в табл.6.8, неортогонален, так как

п п

^х₀₁х~² ф 0; ^х²х_и² ф0, [Фи. (6.26)

/=1

у=1

Приведем его к ортогональному виду, для чего введем новые перемен­ные (преобразования для квадратичных эффектов):

X_tJ = X_;j

/\

2 7-1

п

2

i j

2 2

При этом ^Xq-Xj- ='^₁(х_!] -Xi ) = ^S^_Jx_i] -HXi = 0.

7=1 j-\ j-\

Тогда уравнение регрессии будет записано как

Композиционные планы легко привести к ортогональным, выбирая звезд­ное плечо а. В табл. 6.9 приведено значение а для различного числа факторов к и числа опытов в центре плана п₀.

Таблица 6.9

Значения звездных плеч в ортогональных планах второго порядка

182

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Число опытов в центре плана По	Звездное плечо а при различном числе факторов к
	к=2	к=3	к=4	к=5 *
1	1,000	1,215	1,414	1,546
2	1,077	1,285	1,471	1,606
3	1,148	1,353	1,546	1,664
4	1,214	1,414	1,606	1,718
5	1,267	1,471	1,664	1,772
6	1,320	1,525	1,718	1,819
7	1,369	1,575	1,772	1,868
8	1,414	1,623	1,819	1,913
9	1,454	1,668	1,868	1,957
10	1,498	1,711	1,913	2,000

** В ядре полуреплики

В частности, ортогональный план второго порядка для к=2 и п₀=1 пред­ставлен в табл. 6.10, а его геометрическая интерпретация - на рис. 6.3, а.

Представленный на рис.6.3, айв табл. 6.10 прямоугольный (квадратный) план эксперимента для модели второго порядка работоспособен, хотя и не­сколько избыточен (9 опытов для определения 6 коэффициентов). Благодаря трем избыточным опытам, он позволяет усреднить случайные погрешности и оценить их характер.

Таблица 6.10 Ортогональный план второго порядка

Номер опыта	Факторы						Резуль­тату
	Хо	Х1	х2	XiX2	Xi	х2’
1 Ядро 2 плана 3 4	+1 +1 +1 +1	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	+1 -1 -1 +1	+1/3 +1/3 +1/3 +1/3	+1/3 +1/3 +1/3 +1/3	У1 У2 Уз У4
5 Звезд- 6 Ные 7 точки 8	+1 +1 +1 +1	а=+1 а=-1 0 0	0 0 а=+1 а=-1	0 0 0 0	+1/3 +1/3 -2/3 -2/3	-2/3 -2/3 +1/3 +1/3	У5 Уб У7 У8
Центр 9 плана	+1	0	0	0	-2/3	-2/3	Уэ

2

7

В этой таблице х\. = х_;/

у-1

9

= х

2

В силу ортогональности матрицы планирования все коэффициенты

I] J IJ UJ J

/=1 /=1

ill _п

7 /=1

о. —

' п

Z(v,.)²

7=1

7 I /=1 7

i in 22

; о..- ; о

и

Z*¹./

X

7=1

у=1

(6.27)

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

уравнения регрессии b определяются независимо один от другого по формулам

Здесь i - номер столбца в матрице планирования; j - номер строки; суммы в знаменателях различны для линейных, квадратичных эффектов и взаимодей­ствий.

Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии следующие:

S_bl² =S²Bocn/^ x_IJ²; S 'b^S^ocn/^V^²; S_biu² = S²Bocn/^ (x_;j.x_UJ.)². (6.28)

Следует особо отметить, что коэффициенты уравнения регрессии, полу­чаемые с помощью ортогональных планов второго порядка, определяются с разной точностью (см. уравнение (6.28)), в то время как ортогональные планы первого порядка обеспечивают одинаковую точность коэффициентов, т.е. план, представленный в табл. 6.10, являющийся ортогональным и обеспечивающий независимость определения коэффициентов Ь, не является ротатабельным.

В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами для квадратичных эффектов получим уравнение регрессии в виде

У = V+X^"x<" ⁺ Х^<"и^хЛ + Х^»'(^х<"² ~^х'²)- (6.29)

(=1 /,м=1 г-\

Для преобразования к обычной форме записи следует перейти от коэф­фициента bo’ к коэффициенту Ь₀, используя выражение

Ь₀ =/>₀'-^/>',.,-х,-². (6.30)

(=1

При этом дисперсия этого коэффициента рассчитывается по следующе­му соотношению:

Sb0 = Svo +2^^Хг 'Sb'u • (6.31)

(=1

В дальнейшем, зная дисперсию воспроизводимости, проверяют значи­мость коэффициентов и адекватность уравнения:

y = b₀+ Y__ib_;x_i + ^ b_!ux_;x_u + ^Ь_их². (6.32)

(=1 i„u=\ i-\

184

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Значимость коэффициентов проверяется по критерию Стьюдента t. =z>. \/s_bi . Коэффициент значим, если ц >t_am, где m - число степеней сво­боды дисперсии воспроизводимости.

Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера

F ^{= s}aA/SBocn- Уравнение адекватно, если составленное таким образом F-

отношение меньше теоретического: F<F_a;mi;m2, где m-i=/7-/ - число степеней

свободы дисперсии адекватности; т₂ - число степеней свободы дисперсии воспроизводимости; / - число коэффициентов в уравнении регрессии второго порядка, равное числу сочетаний из к+2 по 2, т.е.

(к + 2)(к +1) / = . (6.32а)

2