3.2.3. Определение необходимого количества опытов при построении интервальной оценки для математического ожидания

Увеличение количества измерений (числа проб, образцов и т.п.), как вид­но из выражений (3.27) и (3.31) даже при неизменной их точности (a_x = const), может увеличить доверительную вероятность P или сузить доверительный ин­тервал ±8 для определения действительного значения измеряемой величины (математического ожидания).

Необходимое количество измерений (образцов, проб и т.п.) n для дости­жения требуемой точности 8 при заданной доверительной вероятности Р можно определить заранее в том случае, когда известно действительное значение среднеквадратичного отклонения а_х, а экспериментальные данные (измерения) подчиняются нормальному закону распределения.

64

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Действительно, при этих допущениях число измерений можно опреде­лить из выражения (3.27)

п>

1-a/2^x

\ 5

где£ = а_х/8.

22

2 1-а/2

(7

X

KSj

2 1—a/2

"И²

, (3.37)

Таким образом, число измерений л определяется требуемой довери­тельной вероятностью Р =1- а и относительным (по отношению к среднеквад­ратичному отклонению) значением половины ширины доверительного интерва­ла 8, т.е. требуемой точностью определения измеряемой величины. Так, при Р=0,95, zo,975 = 1,96 и при S=G_x число измерений равно 4. При увеличении необ­ходимой точности измерений в 2 раза, т.е. сужении доверительного интервала до величины 8=(1/2)а_х, необходимое число измерений составит 16. Нетрудно заметить, что необходимое число измерений с увеличением точности возрас­тает в квадратичной зависимости.

Как правило, действительное значение среднеквадратичной ошибки (а_х) неизвестно, а имеется только ее оценка (S_x). В этом случае следует воспользо­ваться соотношением (3.31), т.е. критерием Стьюдента, и необходимое число измерений определять из соотношения

„>'*^,"'S' =t² ■ ^

82 ^а_,^п U

^а_,^т (3.38)

где £ = S_x/S.

При расчетах по этому уравнению следует иметь в виду, что значение критерия Стьюдента зависит не только от а, но и от числа степеней свободы т, последние же определяются числом измерений. В связи с этим уравнение (3.38) следует решать методом последовательных приближений. В качестве начального приближения можно задать, в частности, число измерений, рассчи­танных по формуле (3.37). Так, если решить последнее уравнение методом по­следовательных приближений, то можно показать, что при Р=0,95 (а=0,05) для определения доверительного интервала с точностью S=S_x требуется 7 измере­ний, а с точностью 8=0,5S_x - 19. С повышением необходимой точности различие

65

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

в числе измерений, рассчитанных по соотношениям (3.37) и (3.38), уменьшает­ся и, как показывают расчеты, при величине 8<0,2S_x они практически совпада­ют.

В примере 3.1 доверительный интервал для математического ожидания твердости на поверхности катания головки рельса составил 8 = 24,45 (е =9,85/ 24,45« 0,4), и если бы нам было необходимо определить твердость с точностью ±10Н6 (е ~ 1), то для этого потребовалось бы еще, как минимум, четыре изме­рения (кроме уже трех имеющихся). Действительно, при е = 1 и Р=0,95 (а=0,05), как уже было отмечено, по (3.38) получается п > z²__0,05/2 -(1)² =(1,96)² «4, затем

при т = 4-1 = 3 f₀,05,2 ^я 3 (СТЬЮДРАСПОБР(0,05;3) = 3,182449), по (3.27) полу-чаем n>t₀²_,05,3-1² «9; на следующей итерации f_0,05,8 ^а 2,3 (СТЬЮДРАС-

ПОБР(0,05;8) = 2,306006), л > 2,3² «5 и затем f₀,₀₅,4 ^я 2,8 (СТЬЮДРАС-ПОБР(0,05;4) = 2,776451), л > 2,8² «7.

Количество опытов, необходимых для построения доверительных интер­валов для математического ожидания при некоторых других S/S_x и Р, приведе­ны в табл. 3.1 (для Р=0,95 в скобках приведены значения, рассчитанные по формуле (3.37)).

Таблица 3.1

Необходимое количество измерений при построении доверительного интервала для математического ожидания

s/Sx	P=0,90	P=0,95	P=0,99
1	5	7 (4)	11
0,5	13	19 (16)	31
0,4	19	27 (24)	46
0,3	32	46 (48)	78
0,1	273	387 (384)	668