4. Анализ результатов пассивного эксперимента…

Как правило, по результатам экспериментов находят S_x, S_y, х,у и рас­считывают г_ху по формуле (4.19), а затем, используя эти величины, определяют коэффициенты уравнения регрессии:

bi=r_Xy S y /S x ; bo=y-bix. (4.20)

Коэффициент корреляции г_ху изменяется в пределах -1< г_ху <+1.

Положительная корреляция между случайными величинами характери­зует такую стохастическую зависимость между величинами, когда с возраста­нием одной из них другая в среднем также будет возрастать. При отрицатель­ной корреляции с возрастанием одной случайной величины другая в среднем будет уменьшаться. Чем ближе значение г_ху к единице, тем теснее статистиче­ская связь.

Отметим еще раз область применимости выборочного коэффициента корреляции для оценки тесноты связи.

1. Коэффициент парной корреляции значений у и х применительно к од-нофакторной зависимости характеризует тесноту группирования дан­ных лишь относительно прямой (например, линия А на рис. 4.8, а). При более сложной зависимости (рис.4.8, б) коэффициент корреляции г_ху будет оценивать тесноту экспериментальных точек относительно некоторой прямой, обозначенной буквой А, что, естественно, несет мало сведений о тесноте их группирования относительно искомой кривой у - f(x).

2. Коэффициент парной выборочной корреляции имеет четкий физиче­ский смысл только в случае двумерного нормального распределения параметров, т.е. когда для каждого значения X, например х-i, х₂, х₃, существует совокупность нормального распределения у и наоборот, а дисперсия зависимой переменной при изменении значения аргумента остается постоянной (рис. 4.9).

132

4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА…

Рис.4.8. К понятию коэффициента парной корреляции

Даже при выполнении этих, вообще говоря достаточно жестких условий, не всякое значение выборочного коэффициента корреляции является доста­точным для статистического обоснования выводов о наличии действительно надежной корреляционной связи между фактором и откликом. Надежность ста­тистических характеристик ослабевает с уменьшением объема выборки (п). Так, при п=2 через две экспериментальные точки можно провести только одну прямую и зависимость будет функциональной, при этом выборочный коэффи­циент корреляции равен единице (г_ху=1). Однако это не означает надежность полученных статистических характеристик в силу весьма и весьма ог­раниченного объема выборки. Значит, вычислять коэффициент корреляции по результатам двух наблюдений бессмысленно, так как он заведомо будет равен единице, и это будет обусловлено не свойствами переменных и их взаимным отношением, а только числом наблюдений.

133

у iL А		В	г y = b0+bjX
4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТ01	3 ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА…
В СВЯЗИ С ЭТИМ			[,'	Л
требуется проверка того,		у'	1 У
насколько значимо отли-		Л у/^ ''	'/'	Syi=const
чается выборочный ко-		L''
эффициент корреляции				►

^х2

^х3

xi

Рис.4.9. К понятию коэффициента парной корреляции в случае двумерного нормального распределения параметров

ся проверка значимости выборочного коэффициента парной корреляции и оценка его доверительного интервала.

Для определения значимости г_х„ сформулируем нуль-гипотезу Н₀: г_ху*=0, т.е. корреляция отсутствует. Для этого рассчитывается экспериментальное значение t-критерия Стьюдента

ху

t = г.

-Jn-2

(4.21)

и сравнивается с теоретическим при числе степеней свободы п-2.

Если t>t_a;n-2 при заданном уровне значимости а, то нулевая гипотеза от­клоняется, а альтернативная гипотеза H-i: г_ху* ф 0, о том, что коэффициент кор­реляции существенен, принимается.

Определение доверительного интервала коэффициента корреляции. При малых объемах выборки (п<20) можно рекомендовать построение доверитель­ного интервала для г_ху* , которое основано на преобразовании Р.Фишера. Он предложил такое нелинейное преобразование величины г_ху, при котором закон распределения этой оценки, вообще говоря, довольно сложный, практически приближается к нормальному. Это преобразование производится по формуле

ху

Z

^|пг

1 1⁺^

Г

2

(4.22)

Среднеквадратичное отклонение случайной величины z* зависит от чис­ла опытов

134