3.7. Преобразование распределений к нормальному
Если исследователь, использовав методы, изложенные в предыдущем параграфе, убедился, что гипотеза нормальности распределения не может быть принята, то вполне может быть, что с помощью существующих методов удастся так преобразовать исходные данные, что их распределение будет подчиняться нормальному закону распределения. Для пояснения идеи преобразований рассмотрим качественный пример. Пусть кривая распределения f(x) имеет вид, представленный на рис. 3.9,а, т.е. имеются очень крутая левая ветвь и пологая правая. Такое распределение отличается от нормального.
Для выполнения операций преобразования каждое наблюдение трансформируется с помощью логарифмического преобразования x' = lg(x). При этом левая ветвь кривой распределения сильно растягивается, и распределение принимает приближенно нормальный вид (рис.3.9,б). Если при
114
3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
преобразовании получаются значения, расположенные между 0 и 1, то все наблюдаемые значения для удобства расчетов и во избежание получения отрицательных параметров необходимо умножить на 10 в соответствующей степени, чтобы все вновь полученные, преобразованные значения были
больше единицы, т.е. необходимо выполнить преобразования x" = lg(x-10a).
V)
а
f(x')
б
х' = lg(x) Рис. 3.9. Преобразование функции f(x) к нормальному распределению
Асимметричное распределение с одной вершиной приводится к нормальному преобразованием x' = lg(x±a). В отдельных случаях можно применять и другие преобразования:
а) обратная величина х' = 1/х;
б) обратное значение квадратных корней х' = l/Vx".
Преобразование "обратная величина" является наиболее "сильным". Среднее положение между логарифмическим преобразованием и "обратной величиной" занимает преобразование "обратное значение квадратных корней".
Для нормализации смещенного вправо распределения служат, например,
степенные преобразования х' = х . при этом для а принимают значения: а=1,5 при умеренном и а=2 при сильно выраженном правом смещении. Рекомендуем читателю придумать такие преобразования, которые удовлетворяли бы исследователя в том или ином случае.
115
3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Контрольные вопросы
1. Какие задачи решают в ходе предварительной статистической обработки экспериментальных данных?
2. Что такое генеральная совокупность и выборка?
3. Что такое точечное оценивание? Перечислите точечные оценки основных параметров нормального распределения для непрерывной случайной величины.
4. В чем заключается основная идея оценивания с помощью доверительного интервала? С помощью каких распределений происходит построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии?
5. В чем заключается сущность статистических гипотез? Что такое нулевая и альтернативная статистические гипотезы?
6. С помощью каких критериев производится отсев грубых погрешностей?
7. Какие задачи возникают при сравнении двух рядов наблюдений экспериментальных данных? С помощью каких критериев они решаются?
8. Что такое критерий согласия? Какова основная идея его использования при проверке гипотез о виде функции распределения?
9. В чем заключается алгоритм использования критерия Пирсона для проверки гипотезы нормального распределения экспериментальных данных?
10. Какова процедура использования критерия Колмогорова-Смирнова для проверки гипотезы нормального распределения?
116