6.3.5. Дробный факторный эксперимент

Во многих практических задачах взаимодействия второго и высших по­рядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах ис­следования часто необходимо получить в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи при минимальном числе экспери­ментов. Так, для трех факторов вместо уравнения (6.9) достаточно рассмотреть уравнение вида

у = Ъ()+Ъ\х\+Ъ2^2⁺^3^Х3 (6.22)

и определить только четыре коэффициента. Поэтому использование ПФЭ для определения коэффициентов только при линейных членах неэффективно из-за реализации большого числа опытов, особенно при большом числе факторов к.

Если при решении задачи можно ограничится линейным приближением, то в ПФЭ оказывается много "лишних" опытов. Так, для трех факторов доста­точно 4 опыта, а в ПФЭ их 8. Следовательно, есть четыре "лишних". Результа­ты этих "лишних" опытов могут быть использованы двояко: во-первых, с их по­мощью можно получить более точные оценки коэффициентов регрессии; во-вторых, их можно использовать для проверки адекватности модели. Однако при 7 факторах ПФЭ содержит 2⁷=128 опытов, а для линейного уравнения требует­ся всего 8. Таким образом, остается 120 лишних и, конечно, нет необходимости их все реализовать, а достаточно лишь несколько из них использовать для про­верки адекватности и уточнения оценок.

Другими словами, ПФЭ обладает большой избыточностью опытов. В свя­зи с этим возникает вопрос: "Нельзя ли сократить число опытов, необходимых для определения коэффициентов регрессии?”.

Так, для определения коэффициентов уравнения (6.22) достаточно огра­ничится четырьмя опытами, если в ПФЭ 2³ использовать xix₂ в качестве плана для хз, тогда матрица планирования эксперимента примет вид, представленный втабл.6.4.

171

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Таблица 6.4 Дробный факторный эксперимент

Номер опыта	План				Результат
	Хо	Xi	Х2	Х3= XiX2
1	+1	-1	-1	+1	У~\
2	+1	+1	-1	-1	У2
3	+1	-1	+ 1	-1	Уз
4	+1	+1	+1	+1	У4

Заметим, что мы использовали не все точки с "крайними" координатами, т.е. ±1, или, говоря другими словами, не все возможные комбинации выбранных уровней. На самом деле всех возможных комбинаций 2³=8, мы же использова­ли из них только 4. Такой сокращенный план носит название дробного фактор­ного эксперимента (ДФЭ).

Следует подчеркнуть, что формальное приравнивание произведения факторов фактору, не входящему в это произведение, является основопола­гающей идеей метода ДФЭ. В данном случае используется только половина ПФЭ 2³, поэтому план, представленный в табл.6.4, называется полурепликой от ПФЭ 2³. После реализации плана получают 4 уравнения с 4 неизвестными, их решение и даст оценку всех четырех коэффициентов регрессии Ь\. Например, матрица из 8 опытов для четырехфакторного планирования будет полурепли­кой от ПФЭ 2⁴, а для пятифакторного планирования — четвертьрепликой от 2⁵.

Для того чтобы дробная реплика представляла собой ортогональный план, в качестве реплики следует брать ближайший полный факторный экспе­римент. При этом число опытов должно быть не менее числа искомых коэф­фициентов.

Если коэффициенты регрессии при парных произведениях не равны ну­лю, то найденные коэффициенты b будут смешанными оценками их теоретиче­ских коэффициентов pi. На практике обычно не удается априорно постулиро­вать равенство нулю эффектов взаимодействия, однако часто имеются основа­ния полагать, что некоторые из них малы по сравнению с линейными эффекта­ми. Операцию смешивания оценок принято условно записывать в виде выра­жений

172

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Ъ₁ ->■ Д + Д₃; й₂ ->■ Д + Д₃; й₃ -> Д + Д₂, (6.23)

где р - математическое ожидание для соответствующего коэффициента.

Эти генерирующие коэффициенты не могут быть раздельно оценены по плану, включающему всего четыре опыта, так как в этом случае неразличимы столбцы для линейных членов и парных произведений. Если, например, в до­полнение к столбцам, приведенным в табл. 6.4, вычислить еще столбцы для произведения Х1Хз, то увидим, что элементы этого столбца в точности равны элементам столбца х₂. Таким образом, сокращение числа опытов приводит к получению смешанных оценок для коэффициентов.

Для того чтобы определить, какие коэффициенты смешаны, удобно пользоваться следующим приемом: подставив х₃ на место xix₂, получим соот­ношение х₃=х₁х₂, называемое генерирующим соотношением.

Умножив обе части генерирующего соотношения на х₃, получим

х₃ =х₁х₂х₃ =1 , т.е. х₁х₂х₃ =1. (6.24)

Это произведение носит название определяющего контраста. Умножив поочередно определяющий контраст на х^ х₂, х₃, находим

Х₁ =Х₁ Х₂Х₃ =Х₂Х₃; Х₂ =Х₁Х₃; Х₃ =Х₁Х₂. (6.25)

Полученным соотношениям соответствует система смешанных оценок, т.е. pi смешана с ргз, р2 - с р1з, а рз - с р12.

Таким образом, при использовании ДФЭ необходимо иметь четкое пред­ставление о так называемой разрешающей способности дробных реплик, т.е. определить заранее, какие коэффициенты являются несмешанными оценками для соответствующих коэффициентов. Тогда в зависимости от постановки за­дачи подбирается дробная реплика, с помощью которой можно извлечь макси­мальную информацию из эксперимента.

Например, в задаче с четырьмя факторами (к=4) в качестве генерирую­щего соотношения можно взять X4=xix₂x₃ или любой из эффектов двойного взаимодействия, например X4=xix₂. Таблица планирования такого эксперимента представлена в табл.6.5.

173

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Таблица 6.5 Планирование ДФЭ

Номер опыта	План				Генерирующие соотношения
	Хо	Х1	Х2	Хз		Х4=Х1ХгХз	Х4=Х-|Х2
1	+1	-1	-1	-1		-1	+ 1
2	+1	+1	-1	-1		+ 1	-1
3	+1	-1	+ 1	-1		+ 1	-1
4	+1	+1	+ 1	-1		-1	+ 1
5	+1	-1	-1	+ 1		+ 1	+ 1
6	+1	+1	-1	+ 1		-1	-1
7	+1	-1	+ 1	+ 1		-1	-1
8	+1	+1	+ 1	+ 1		+1	+1

В первом случае определяющий контраст Х4²=Х1Х₂ХзХ4=1. Получим оценку совместных оценок:

Х₁ = Х₂Х₃Х₄;Ь₁ —»Д +/?234;

Х₂ = Х₁Х₃Х₄;Ъ₂ —> Д + Д₃₄;

Х₃ =X1X₂X₄;Z>₃ ->Д ⁺ A24;

Х₄ = X1X₂X₃; 6₄ —» Д + /?₁₂₃ ;

X1X₄ = Х₂Х₃; 6₁₄ -> Д₄ + Д₃;

X1X₂ = Х₃Х₄;6₁₂ -+/3₁₂ +/3₃₄;

Х₁Х₃ = Х₂Х₄;Ъ₁₃ —>■ Д₃ + Д₄.

В реальных задачах тройные взаимодействия бывают равными нулю значительно чаще, чем двойные. Значит, если по физическому смыслу задачи нас более всего интересуют оценки для линейный эффектов, следует исполь­зовать генерирующее соотношение Хд= XiX₂X₃.

Во втором случае определяющий контраст выражается соотношением X4²=XiX2X4=1; Х1Х2Х4И.

При этом получим следующую систему оценок:

Х₁=Х₂Х₄; Ь₁ -^fi₁+fi₂₄;

Х₂ = Х₁Х₄; Ъ₂ —» Д + Д₄;

174

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Х₃ = Х₁Х₂Х₃Х₄; Ъ₃ —> Д +Д₂34; Х₄ = Х₁Х₂; Ъ₄ —> Д + Д ₂; Х₁Х₃ =Х₂Х₃Х₄; Ь₁₃ н> д₃ +Д₃₄; Х₂Х₃ = х₁х₃х₄; Ъ₂₃ —»Д₃ + Д₃₄;

Х₃Х₄ = Х₁Х₂Х₃; Ъ₃₄ -^ р₃₄ + Д₂₃.

Следовательно, дробную реплику с генерирующим соотношением X₄=XiX₂ имеет смысл использовать, если нас более всего интересуют коэффи-

ЦИбНТЫ Р12) P23i Р34"

Дробную реплику, в которой Р линейных эффектов приравнены к эффек­там взаимодействия, обозначают 2^к"^р.

Таким образом, планы первого порядка, оптимальные двухуровневые планы ПФЭ 2^к и ДФЭ 2^к"^р имеют следующие преимущества:

1. - планы ортогональны, поэтому все вычисления просты;

2. - все коэффициенты определяются независимо один от другого;

3. - каждый коэффициент определяется по результатам всех п опытов;

4. - все коэффициенты регрессии определяются с одинаковой дисперси­ей, т.е. эти планы обладают и свойством ротатабельности.