4.6. Линейная множественная регрессия

При изучении множественной регрессии не существует графической ин­терпретации многофакторного пространства. При проведении экспериментов в такой ситуации исследователь записывает показания приборов о состоянии функции отклика у и всех факторов ^ , от которых она зависит. Результат ис­следований - это матрица наблюдений.

У1 ^х11 ^х12 ••• xlj ••• xlk

У2 ^х21 ^х22 ••• x 2i •••x 2k

У1 x il x i2 ••• x ii ••• x ik

(4.29)

Уп x nl x n2 •••xm --^nk

Здесь n - число опытов; k - число факторов; x_y - значение j-го фактора в i-м опыте; у - значение выходного параметра для i-ro опыта.

Задача линейной множественной регрессии состоит в построении гипер­плоскости в (к+1)-мерном пространстве, отклонения результатов наблюдений у от которой были бы минимальными при использовании метода наименьших квадратов. Или, другими словами, следует определить значения коэффициен­тов bo, ..., bj, ..., bk в линейном полиноме

к у = bo + Xb jXi, j=l

142

4. Анализ результатов пассивного эксперимента…

минимизирующие выражение

Ф = У](у( -Уг)² = У][Уг -{bo +b_xx_x +... + bjX_iJ +... + b_kx_nk)]² -»mill. (4.30)

г i ^J

Процедура определения коэффициентов bo, ..., bj, ..., bk в принципе не отличается от одномерного случая, рассмотренного ранее, и поэтому здесь не приводится.

Для оценки тесноты связи между функцией отклика у и несколькими факторами х_ь х₂, ..., Xj, ..., x_k используют коэффициент множественной корреля­ции R, который всегда положителен и изменяется в пределах от 0 до 1. Чем больше R, тем качественнее предсказания данной моделью опытных данных с точки зрения близости ее к функциональной. При функциональной линейной зависимости R=1.

Расчеты обычно начинают с вычисления парных коэффициентов корре­ляции, при этом вычисляются два типа парных коэффициентов корреляции:

1. г_ух. - коэффициенты, определяющие тесноту связи между функцией отклика у и одним из факторов Xj;

2. iv _Y - коэффициенты, показывающие тесноту связи между одним из

^Aj^Au

факторов Xj и фактором x_u (j, u =Uk).

Если один из коэффициентов г_хх окажется равным 1, то это означа­ет, что факторы Xj и х_и функционально связаны между собой. Тогда целесооб­разно один из них исключить из рассмотрения, причем оставляют тот фактор, у которого коэффициент г_ух. больше.

После вычисления всех парных коэффициентов корреляции можно по­строить матрицу коэффициентов корреляции следующего вида:

143

4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА…

1 ^Гух, V, -^Г^ -^Гух_к

^Х\У xix2 '" xixJ '" ^х\^хк

х₂у х₂х_х " x₂xj " х₂х_к

(4.31)

г „ г _v г _v ... 1 ...г

SjJ Xjl; XjX₂

X у X Xi X Хт X

J**

Г „ г _т г _т ...г _т ... 1

^хк.» ^хк-*-1 ^хк-*-2 xj-*-£

Однако парные коэффициенты корреляции не характеризуют тесноту связи, так как они вычисляются при случайно изменяющихся значениях других факторов. Действительно, при рассмотрении трех и более случайных величин коэффициенты корреляции любой пары из этих случайных величин могут не дать правильного представления о степени связи между всеми случайными ве­личинами. Это объясняется тем, что на закон распределения вероятностей ис­следуемой пары случайных величин могут оказывать влияние и другие рас­сматриваемые случайные величины. Это обстоятельство делает необходимым введение показателей стохастической связи между парой случайных величин при условии, что значения других случайных величин зафиксированы. В этом случае говорят о статистическом анализе частных связей. Используя матрицу (4.31), можно вычислить частные коэффициенты корреляции, которые показы­вают степень влияния одного из факторов Xj на функцию отклика у при усло­вии, что остальные факторы остаются на постоянном уровне. Формула для вы­числения частных коэффициентов корреляции имеет вид

ryxi,X2,.">xjv>xk ~ ^1}/л1^И '^jj

(4.32)

где Dij - определитель матрицы, образованной из матрицы (4.31) вычеркивани­ем 1-й строки и j-ro столбца. Определители D-ц и Djj вычисляют аналогично. Как и парные коэффициенты, частные коэффициенты корреляции изменяются от -1 до +1.

Значимость и доверительный интервал для коэффициентов частной кор­реляции определяются так же, как для коэффициентов парной корреляции, только число степеней свободы вычисляют по формуле

144