2.6 Плоская электромагнитная волна в однородной среде.

Простейшим примером электромагнитного поля является плоская волна в однородной изотропной непроводящей среде. Если поле зависит только от одной координаты – например, координаты z, оператор Гамильтона содержит только одну составляющую:

.

Из уравнений поля непосредственно получаем:

, (5.10)

, (5.11)

Записывая поле в виде суммы поперечных и продольных составляющих

и учитывая, что , получаем:

Поскольку поле в некоторый момент отсутствовало, то следовательно E_z  H_z  0, т.е. поле имеет поперечный характер.

, (5.12)

общим решением которого является сумма двух произвольных дважды дифференцируемых поперечных векторных функций вида:

, (5.13 )

соответствующим двум волнам, распространяющимся в положительном и отрицательном направлении оси z со скоростью . Нетрудно показать, что (5.12) удовлетворяет и . Поэтому

. (5.14)

Для обеих функций в (5.13) имеем:

.

Комбинируя с (2.49) и (2.50) имеем:

. (5.15)

где - называется волновым сопротивлением среды.

Т.е. решение уравнений поля существует в виде пар взаимосвязанных функций . В каждой паре вектора и перпендикулярны друг другу и образуют с направлением распространения правую систему.

Контрольные вопросы

1. Какое представление имеют проекции векторов электромагнитного поля, изменяющиеся во времени по гармоническому закону?

2. Какое преимущество дает использование представления векторов электромагнитного поля в комплексной форме?

3. Какой вид имеет закон полного тока в комплексной форме?

4. Какой вид имеет обобщенный закон Фарадея в комплексной форме?

5. Как записывается в комплексной форме обобщенный закон Гаусса?

6. Как записывается в комплексной форме закон непрерывности магнитной индукции?

7. Как формулируется теорема единственности решения уравнений электромагнитного поля?

8. От скольких координат зависит поле однородной плоской волны?

9. Какова ориентация векторов поля плоской волны относительно друг друга и направления распространения?

Лекция 6

3. Возникновение и распространение помех в конструкциях

электронных средств.

3.1 Задержка и искажение сигнала в схемах с сосредоточенными элементами и в коротких линиях связи

Для коротких линий связи характеристики сигнала (длительность фронтов, период, длительность сигнала в целом) намного превышает время распространения и поэтому можно пренебречь запаздыванием и считать, что токи и напряжения изменяются синхронно. Эквивалентная схема, позволяющая рассчитать прохождение сигнала по линии, кроме самих параметров линии L, C, R_сп, R_су, должна включать выходное сопротивление источника сигнала и входное сопротивление приемника (рис. 6.1)

Рис. 6.1. Эквивалентная схема для анализа влияния линии связи на прохождение сигнала от источника к приемнику

З

L

десь R_гс – собственное выходное сопротивление источника сигнала, R_нс – собственное сопротивление на выходе приемника сигнала, R_су – сопротивление утечки между проводниками линии. Индуктивность проводников L и межэлектродная емкость С могут быть либо измерены, либо рассчитаны по формулам электростатики и магнитостатики. С учетом дополнительных элементов R_гс и R_нс эквивалентная схема приводится к виду, показанному на рис. 6.2. Сопротивления R_г и R_н связаны с параметрами схемы рис. 6.1. следующими соотношениями:

, (6.1)

. (6.2)

Целесообразно вначале рассмотреть в качестве сигнала некоторое стандартное воздействие, например, единичный скачок напряжения.

(6.3)

Воспользуемся для расчета операционным исчислением. Для этого введем характеристические сопротивления элементов схемы и перейдем от оригиналов токов и напряжений к изображениям:

, (6.4)

, (6.5)

. (6.6)

Изображение тока

. (6.7)

Изображение искомого напряжения на входе приемника:

. (6.8)

С учетом (7) имеем:

. (6.9)

Для перехода к оригиналу представим дробно-рациональную функцию в виде суммы простейших слагаемых:

, (6.10)

где р₁, р₂ – корни выражения в квадратных скобках в знаменателе.

. (6.11)

Откуда имеем:

(6.12)

Найдем теперь неизвестные коэффициенты А₀, А₁, А₂. Для этого приведем правую часть (7.10) к общему знаменателю и приравняем коэффициенты левой и правой части при одинаковых степенях р:

А₀ (р-р₁) (р-р₂) + А₁ р(р-р₂) + А₂ р(р-р₁)  1. (6.13)

Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:

А₀ + А₁ + А₂ = 0,

А₀ (-р₁-р₂) – А₁р₂ – А₂р₁ = 0 , (6.14)

А₀р₁р₂ = 1.

Решение этой системы имеет вид:

(6.15)

(6.16)

(6.17)

Переходя к оригиналу получим:

. (6.18)

Для анализа полученного решения обозначим: р₁ = - + , где

(6.19)

. (6.20)

Тогда р₂ = - - .

Напряжение (18) можно переписать следующим образом:

(6.21)

Полученное решение можно анализировать с учетом конкретного сочетания параметров. Выделяются следующие области параметров:

.

1. Пусть , (6.22)

тогда .

В решении выделяются два затухающих экспоненциальных слагаемых с показателями экспонент (- + )t и (- - )t. Первый показатель равен:

. (6.23)

Второй показатель:

(6.24)

При этом доминирует слагаемое с малым показателем степени. Второе слагаемое оказывается с большим коэффициентом затухания. Для структур металл – диэлектрик – проводник (МДП) при малых управляющих токах R_н велико и влияние второго слагаемого в выражении для коэффициента затухания мало:

. (6.25)

Для снижения времени следует уменьшать емкость линии (увеличивая тем самым характеристическое сопротивление). Для микросхем на биполярных транзисторах (22) не выполняется и требуется более тщательный анализ.

2. Предположим . В этом случае  = 0 и имеет место режим согласно (21) при   0:

. (6.26)

Пусть порог срабатывания U_п:

. (6.27)

В данном случае

Приближенное решение этого уравнения дает следующее значение:

.

Наконец, начиная с области изменения параметров в сторону увеличения нижеследующего неравенства

(6.28)

имеет место режим осцилляций:

.

. (6.29)

Обозначим .

Амплитуда осцилляций в начальный момент времени:

. (6.30)

Фаза осцилляций  определяется соотношением:

. (6.31)

С учетом полученных соотношений имеем:

. (6.32)

При выборе осциллирующего режима следует следить, чтобы в отрицательный полупериод осцилляции напряжение не снизилось ниже порогового уровня.

Контрольные вопросы

1. Какие линии связи считаются короткими?

2. Какой эквивалентной схемой можно представить отрезок короткой линии связи?

3. Почему напряжение генератора в виде единичного скачка можно считать стандартным воздействием?

4. В чем суть операторного метода расчета искаженй сигнала в линии связи?

5. В чем особенности апериодического режима и при каких сочетаниях параметров он наблюдается?

6. Как изменяется напряжение в нагрузке на ранице апериодического и осцилляционного режимов?

7. При каких сочетаниях параметров наблюдается режим осцилляций?

8. Какова зависимость напряжения в нагрузке в режиме осцилляций и какие сбои в цифровых схемах он может вызвать?