Лекция 8

3.3. Расчет помех рассогласования в длинной линии при произвольной нагрузке

Как было установлено напряжение и ток в длинной линии удовлетворяют одному и тому же уравнению, которое, например, для напряжения имеет вид:

, (8.1)

где через L и С обозначены погонная индуктивность и емкость линии. Общее решение этого уравнения имеет вид:

, (8.2)

где U_t и U_s произвольные функции своих аргументов и , имеющие по ним вторые производные. Первая функция U_t имеет смысл волны напряжения, распространяющейся в положительном направлении по оси z со скоростью:

, (8.3)

а функция U_s – волны, распространяющейся с той же скоростью в обратном направлении.

Ток в линии связан с напряжением одним из телеграфных уравнений, которому можно придать вид:

. (8.4)

Проинтегрируем (8.4) по времени:

(8.5)

и учтем в соответствии с (8.2), что:

. (8.6)

Подставляя в (8.5) имеем:

. (8.7)

Ток в линии представлен слагаемыми

, (8.8)

где , .

Мы показали, что напряжение и ток в линии представлены суперпозицией двух независимых пар функций в каждой из которых ток и напряжение пропорциональны друг другу:

, , (8.9)

где называется волновым сопротивлением линии. Рассмотрим напряжение ток в конце линии, подсоединенной к сопротивлению z_н. В общем случае это сопротивление может быть реактивным (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Схема замещения сопротивления нагрузки

Для расчета напряжений и токов в линии используем операционное исчисление. При переходе к изображениям можно сохранить для них термины «напряжение» и «ток». Напряжение и ток становятся функциями параметра р и координаты z:

U(p,z) = U_t (p,z) + U_s (p,z). (8.10)

Используя теорему смещения в соответствии с (8.2) получим связь напряжения U_t (p,z) и U_s (p,z) в любой точке z с их значениями в начале линии (z=0):

(8.11)

Переходный процесс в линии начинается в момент начала генерирования сигнала U_г(р), вызывающего появление в линии начальной волны U_t0(p,z) в соответствии с эквивалентной схемой (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Эквивалентная схема для определения

первоначальной падающей волны U_t0

Напряжение U_t0(р,0) выражается через напряжение генератора U_г(р):

, (8.12)

В соответствии с (8.11) падающая волна U_t0(р,z) в конце линии (z = ) равна:

, (8.13)

где Т =  / v – время распространения волны вдоль линии ( - длина линии).

Эта волна вызывает появление первой отраженной волны Us0 (р, ), так что суммарное напряжение и ток удовлетворяют условию:

, (8.14)

откуда получаем связь между гадающей и отраженной волнами:

, (8.15)

где _н(р) – коэффициент отражения:

. (8.16)

Если z_н(р) равно z₀, то отраженная волна отсутствует и линия, как говорят, согласована с нагрузкой. Реальное сопротивление нагрузки всегда содержит реактивные элементы, а иногда является нелинейным, т.е. может зависеть от приложенного напряжения. Поэтому условие согласования _н = 0 можно выполнить лишь приближенно и отраженное напряжение не равно нулю. Распространяясь к началу линии они принимает значение в соответствии с (8.11)

. (8.17)

Если сопротивление генератора z_г(р)  z₀, то отражаясь от генератора оно вызывает появление переотраженной волны, распространяющейся в сторону нагрузки, которую естественно обозначить через

, (8.18)

где z_г(р) – коэффициент отражения от генератора:

. (8.19)

В момент появления напряжения U_t1(р,0) завершается первый цикл переходного процесса в линии. Напряжение U_t1(р,0) можно теперь связать с напряжением U_t0(р,0):

. (8.20)

Волны, возникающие в следующем цикле можно получить повторяя дословно все предыдущие рассуждения, где роль U_t0 будет играть напряжение U_t1, так что (8.20) имеет универсальный характер:

. (8.21)

Для любого фиксированного момента времени t в линии существуют волны, возникающие за конечное число циклов N:

- целая часть числа t/2T;

Обозначим через w дробную часть числа t/2Т, так что 0<w<1. Очевидно, что при 0,5<w<1 в линии существует отраженная волна N-го цикла U_sN(p,z). С учетом всех предыдущих выкладок получим для напряжения в линии на фиксированный момент времени t с начала генерирования напряжения:

, (8.22)

где .

Вынося общий множитель U_t0(р,0) имеем:

. (8.23)

Используя здесь формулу для суммы геометрической прогрессии имеем:

. (8.24)

В качестве примера рассмотрим переходной процесс для единичного сигнала напряжения генератора:

,

при активных сопротивлениях генератора и нагрузки z_т(р) = R_г, z_н = R_н. При t   соответственно N = N^/ .

В соответствии (8.22)

Поскольку аргументы у функций U_г неотрицательны, то все они равны 1:

.

Этот результат, разумеется, легко объясняется тем, что после окончания переходного процесса в линии наступает режим постоянного тока и волновые свойства линии значения не имеют. Напряжение на нагрузке устанавливается из соотношения сопротивления генератора к нагрузке.