Лекция 7

3.2. Распространение помех в регулярных направляющих системах

Металлические и диэлектрические волноводы, линии связи представляют собой так называемые регулярные направляющие системы, вдоль которых информация и энергия могут передаваться на значительные расстояния без заметного затухания. Их поперечное сечение представляет собой кусочно однородные области из магнитодиэлектрического материала с малыми потерями или металла с высокой проводимостью который образует электроды направляющей системы и остается неизменным вдоль координаты, параллельной направлению распространения. При этом присутствие металла не является необходимым условием. Поле помех может распространяться, например, вдоль электрического основания печатной платы за счет так называемых вытекающих волн полосковых линий. Рассмотрим свойства таких полей, следующие из уравнений Максвелла, полагая, что поле разложено по времени в комплексный интеграл Фурье. Например, электрическое поле можно представить в виде:

. (7.1)

Спектральная составляющая электрического поля для фиксированной частоты  зависит от пространственных координат и вместе с аналогичными составляющими , и удовлетворяет комплексным уравнениям Максвелла в каждой однородной области поперечного сечения направляющей системы.

Рис. 7.1. Геометрия направляющей системы

Будем полагать, что заряды отсутствуют, так что

, (7.2)

а в системе существует поле, зависящее от координаты z по закону , т.е. представляющее собой волну, распространяющуюся вдоль z ( - одно и тоже для всех областей , так что векторы , (аргумент  в дальнейшем будем опускать) могут быть представлены в виде:

(7.3)

Здесь поперечная составляющая радиуса-вектора точки наблюдения. Каждый из векторов и представим в свою очередь в виде суммы поперечной и продольной составляющих:

(7.4)

где - поперечная часть вектора . Аналогичное представление введем и для гамильтониана:

. (7.5)

Здесь мы учли, что для поля (7.3) операция дифференцирования по координате z равнозначно умножению на -i. Закон полного тока с учетом введенных обозначений будет выглядеть следующим образом:

. (7.6)

Разделяя поперечные и продольные составляющие этого равенства, запишем:

, (7.7)

. (7.8)

Закон Фарадея аналогично можно представить в виде:

, (7.9)

. (7.10)

Уравнения (7.7) и (7.9) можно рассматривать как систему, позволяющие выразить поперечные составляющие поля через продольные:

, (7.11)

. (7.12)

Умножим (7.11) на :

,

а (7.12) слева векторно на и на :

.

Складывая полученные равенства и учитывая, что двойное (векторное) умножение на означает поворот вектора на 180^о, получаем:

, (7.13)

. (7.14)

Здесь , , - параметры соответствующей j-ой однородной области направляющей системы, для которой записывались уравнения Максвелла.

Уравнения (7.13) (7.14) позволяют выразить поперечные составляющие поля в каждой области через продольные и сократить число независимых функций до двух.

Параметры принято называть поперечными волновыми числами. Оставшиеся два уравнения могут быть с помощью подстановки поперечных составляющих из (7.13) (7.14) преобразованы в уравнения второго порядка. Подставляя например, в (7.8) из (7.14) имеем:

.

Учитывая, что

,

, как rotgradH,

получаем следующее уравнение

. (7.15)

Точно такое же уравнение получается для Н после подстановки в (7.10) выражения (7.13): . (7.16)

Для нахождения неизвестных функций Е и Н кроме самих уравнений необходимо задать граничные условия. Пусть, например, две области поперечного сечения с номерами j и m имеют общую границу в виде контура L_jm (для определенности выбрано направление нормали из области V_m в область V_i (рис. 7.2)).

Рис. 7.2. Элементы геометрии общей границы областей V_m и V_j

При переходе этой границы должны быть непрерывны касательные составляющие векторов и :

(7.17)

(7.18)

Уравнения (7.13) (7.14) лежат в основе классификации волн в направляющих системах. В общем случае через граничные условия (7.17) (7.18) пары функций H_j, E_j каждой области V_j связаны между собой и с аналогичными парами функций других областей. Ненулевые решения системы уравнений:

при граничных условиях (7.17) (7.18) образуют множество так называемых гибридных или смешанных волн. Однако в некоторых системах граничные условия (7.18) вырождаются в отдельные уравнения для продольных составляющих электрического и магнитного поля и тогда уравнения (6.19) (7.20) становятся независимыми. В этом случае каждое из них определяет свой отдельный тип полей. Поля, определяемые уравнением (7.19) имеют ненулевую продольную составляющую электрического поля и называются полями типа – Е или поперечно-магнитными (ТМ), а уравнение (7.20) соответственно определяет поля типа Н или поперечно-магнитные (ТЕ). Существование полей с одновременно равными нулю продольными составляющими E_j и H_j не может быть установлено с помощью (7.19) (7.20). Обращаясь тогда к системе (7.11) (7.12) с нулевой правой частью, устанавливают, что ненулевые решения имеют место при условии ² - ² = 0. Электрическое поле ортогонально магнитному

(7.21)

аналогично полю плоской волны. Из уравнения (7.10) следует, что может быть представлено в виде градиента скалярного потенциала :

. (7.22)

А из аналогичного уравнения для магнитного поля (6.8), после подстановки в него (7.21) и (7.22) вытекает уравнение для скалярного потенциала :

, (7.23)

т.е. потенциал  удовлетворяет уравнению Лапласа и поперечное поле оказывается статическим. Поле такого типа называется поперечной или Т-волной. Поле Т может быть выражено и через магнитный потенциал , вводимый согласно (7.8) с нулевой правой частью в виде:

, (7.24)

но нового решения это не дает в виду взаимно однозначной связи между и согласно (7.21), откуда вытекает следующая связь между потенциалами  и :

(7.25)

Чтобы в каждом отдельном случае не исследовать существование Т-волны можно в качестве независимых функций ввести две функции, пропорциональным продольным составляющим поля:

(7.26)

Функции  и  естественно удовлетворяют волновым уравнениям (7.19) (7.20), а выражения для поперечных составляющих приобретают вид:

(7.27)

С учетом связей (7.25) из соотношений (7.27) в случае Т-волны вытекают формулы (7.22) и (7.24). Отпадает необходимость отдельно анализировать возможность ее существования в системе. Решение системы (7.19) (7.20) для потенциальных функций _j и _j при однородных граничных условиях (7.17) (7.18) позволяет найти дискретно множество ненулевых решений. В закрытой направляющей системе ограниченной металлической оболочкой существует бесконечное число собственных волн, из которых распространяющимися является конечное число. Они соответствуют вещественным значениям фазового коэффициента _n. Остальные  оказываются мнимыми и соответствующие поля экспоненциально затухают в направлении распространения. Т.е. на данной фиксированной частоте в направляющей системе может распространяться конечное число волн.

В открытых направляющих системах, когда в поперечное сечение системы входит внешняя неограниченная область V₀, общее число волн оказывается конечным и часть энергии помехи излучается в окружающее пространство в виде сферической волны.

Таким образом анализ конструкций электронной аппаратуры и линий связи как элементов регулярных направляющих систем позволяет выявить потенциальные каналы распространения энергии помех на значительные расстояния. Для однозначного решения вопроса о распространении помех вдоль конкретной направляющей системы необходимо решить задачу о ее возбуждении заданным распределением источника поля помехи. Решение при этом ищется в виде разложения по собственным волнам направляющей системы, а для открытых систем учитывается слагаемое в виде сферической волны.

Контрольные вопросы

1. Какая структура может служить направляющей системой для поля помехи?

2. Какова зависимость поля волны вдоль продольной координаты направляющей системы?

3. Какой принцип положен в основу классификации полей в направляющих системах?

4. Какие граничные условия выполняются для касательных составляющих полей на смежных границах частичных областей поперечного сечения направляющей системы?

5. Какой системе уравнений относительно продольных составляющих удовлетворяет поле каждой волны?

6. Какую структуру имеет поле основной волны в двухпроводной линии с однородным межэлектродным диэлектрическим заполнением?

7. Какие волны могут распространяться в волноводе с металлическими стенками?

8. Какие волны могут распространяться в открытых системах?

9. Какое значение имеет анализ волн в конструкциях электронной аппаратуры для обеспечения электромагнитной совместимости?