Лекция 2

2 Моделирование возникновения, распространения и воздействия помех на основе уравнений электродинамики

2.1. Уравнения электромагнитного поля.

Описание помех на основе уравнений электромагнитного поля является наиболее общим. Теория цепей является следствием этого описания для случая распространения помех вдоль линий связи, шин заземления и питания. В большинстве же случаев проникновение помех происходит непреднамеренно и не может быть объяснено работой принципиальной схемы устройства, разработчики которой намеренно используют идеализированные модели элементов. Реальные же модели содержат дополнительные параметры, не предусмотренные их функциональным назначением. Например, индуктивность проводников резистора и межэлектродная емкость вносят дополнительную задержку в работу устройств, куда входит данный резистор. Накапливаясь на элементах схемы такая дополнительная задержка становится заметной и проявляется как помеха. Учет дополнительных реактивных параметров резистора может быть приведен на основе расчета электрических и магнитных полей. Аналогично обстоит дело и с взаимным влиянием элементов и узлов электронной аппаратуры. При проектировании аппаратуры высокой степени интеграции экспериментальное измерение этих параметров становится невозможным и остается единственный путь расчетного их определения и степени влияния на работу электронного устройства.

Электромагнитное поле проявляется в силовом воздействии на заряды. Сила, с которой поле действует на заряд q равна:

, (2.1)

где [В/м] – напряженность электрического поля,

[м/с] - скорость заряда,

[тл] – магнитная индукция.

- векторное произведение скорости и индукции.

Т.е. заряд испытывает воздействие двух сил, причем вторая сила действует на движущийся заряд. Причем, по определению векторного произведения по величине она равна:

,

где  - наименьший из углов поворота от вектора к вектору в плоскости векторов и (  ), перпендикулярна к векторам и и направлена в ту сторону, откуда поворот к вдоль  представляется совершающимся против хода часовой стрелки.

С другой стороны, заряды и точки (в частности движущиеся заряды) сами порождают электромагнитное поле. Количественной мерой образованного поля служат вектор смещения [К/м²] и вектор напряженности магнитного поля [а/м]. Заряды и токи могут образовывать сложные пространственные распределения, для описания которых вводятся объемная плотность зарядов  [К/м³] и объемная плотность токов [а/м²]. Любое распределение зарядов и токов. Предоставленное воздействию только электромагнитных сил, созданных самыми этими зарядами и токами, рассеивается и запасенная полем энергия переходит в другие виды энергии (тепловую, механическую, энергию излучения и т.д.). Т.е. поле может поддерживаться при условии либо принудительного перемещения зарядов силами неэлектрического происхождения, либо электромагнитными полями, созданными источниками в других областях пространства и воздействие которых на заряды и токи в рассматриваемой области считается заданным в виде известного первичного поля. В первом случае вводятся области источников поля, в пределах которых принудительной движение зарядов силами неэлектрического происхождения описываются заданными распределениями плотности сторонних зарядов _ст и токов . Соотношениями, играющими роль аксиом в теории электромагнитного поля являются уравнения Максвелла, формулировка которых опирается на понятия векторного исчисления.

Пусть в некотором векторном поле имеется кривая . Разобьем кривую на N отрезков точками , где - радиусы-векторы точек разбиения, а вектор приближенно является направленным отрезком кривой. Разбиение можно сделать таким, чтобы максимальное значение из всех оказалось меньше любого сколь угодно малого положительного числа . Изменения значения вектора в пределах каждого отрезка можно считать пренебрежимо малыми и самому вектору можно приписать значение, которое он принимает в любой точке отрезка . Положим для определенности это значение равным . Предел суммы скалярных произведений при измельчении разбиений называется интегралом по контуру от вектора по кривой :

.

Скалярное произведение по определению равно

,

где - угол между вектором .

Для замкнутой кривой используя обозначение , а сам интеграл называется циркуляцией вектора по контуру .

С помощью криволинейного интеграла можно представить работу совершаемую полем по перемещению точечного единичного заряда из точки в точку вдоль соединяющей их кривой .

. (2.2)

Очевидно, что интеграл зависит от направления обхода и для той же кривой  с обратным направлением обхода знак меняется на противоположный:

.

Для электростатического поля криволинейный интеграл (2.2) не зависит от формы кривой, а определяется лишь точками и . Такое векторное поле называется потенциальным, а работа по перемещению заряда из данной точки в бесконечно удаленную точку называется электрическим потенциалом поля

. (2.3)

Потенциал является скалярным полем. При этом предполагается, что в бесконечно удаленной точке напряженность поля равна нулю. Возьмем две близкие точки и + . Из выражения (2.3) следует:

. (2.4)

Здесь слева записано с обратным знаком полное приращение функции пространственных переменных, которое можно выразить через приращения независимых переменных:

. (2.5)

Это выражение в свою очередь можно рассматривать как выраженное через декартовые проекции скалярное произведение вектора приращения

на вектор

,

называемый градиентом скалярной функции .

Отсюда вытекает связь между напряженностью электрического поля и потенциалом поля :

. (2.6)

Разделив (2.5) на величину приращения r

,

получим выражение для производной потенциала по направлению

,

где - единичный вектор вдоль направления приращения.

Производная по направлению, характеризующая скорость ее возрастания в направлении , представлена в виде проекции градиента на это направление. Поскольку максимальное значение проекции вектора достигает при совпадении с направлением вектора, отсюда вытекает определение градиента функции как вектора, направленного в сторону максимального возрастания функции в данной точке по величине равного скорости этого возрастания. Семейство линий градиента ортогонально семейству т.н. эквипотенциальных поверхностей

,

на каждой их которых потенциал имеет постоянное значение.

Следующим важным понятием, которое необходимо ввести для формулировки уравнений электромагнитного поля, является понятие потока вектора через поверхность. Пусть, например, вектор - распределение скорости несжигаемой жидкости. Для подсчета объема, вытекающей за единицу времени из поверхности s, на которой задано направление нормали , необходимо рассмотреть предел суммы скалярных произведений. При разбиении поверхности s на элементарные площадки s_m:

(2.7)

где - значения вектора скорости и нормали в произвольной точке элемента s_m, d_{m max} – максимальный из диаметров площадок. Этот предел и называется потоком вектора через поверхность s. Поток вектора через замкнутую поверхность обозначается символом . Электромагнитное поле характеризуется распределениями векторов , как функций пространственных координат и времени, а также зарядов и токов , _ст, , . Рассмотрим поверхность s с нормалью , опирающуюся на замкнутый контур  с направлением обхода , образующим с нормалью т.н. правовинтовую систему, когда обход контура со стороны направления нормали представляется происходящим против часовой стрелки. Система уравнений электромагнитного поля содержит четыре уравнения:

, (2.8)

, (2.9)

, (2.10)

. (2.11)

Первое из этих уравнений – уравнение (2.8) называется законом полного тока, а вектор - плотностью тока смещения, в сумме с токами и образующего плотность полного тока. Уравнение (2.9) – законом индукции Фарадея; уравнение (2.10) – законом Гаусса; и, наконец, последним уравнением (2.11) – уравнением непрерывности магнитной индукции.

Уравнения (2.8 – 2.11) являются обобщением эксперимента в области электромагнетизма и математической формулировкой аксиом электромагнитной теории.

Контрольные вопросы

1. В чем необходимость описания помех в электронных средствах на основе теории электромагнитного поля?

2. Какие характеристики электромагнитного поля являются силовыми?

3. Какие характеристики электромагнитного поля могут служит его количественной мерой?

4. Дайте определение интеграла по контуру от векторного поля?

5. Какое векторное поле называется потенциальным?

6. Даете определение градиента скалярной функции.

7. Дайте определение потоку вектора через поверхность.

8. Как записываются в интегральной форме закон полного тока и закон индукции Фарадея?

9. Как записываются в интегральной форме закон Гаусса закон непрерывности магнитной индукции?