Лекция 5
2.4. Комплексная форма уравнений поля.
Для процессов изменяющихся во времени по гармоническому закону с некоторой частотой f, каждая проекция поля может быть представлена универсальной зависимостью. Например, декартовая составляющая электрического поля может быть записана в виде:
,
(5.1)
где
= 2f называется
круговой частотой поля и имеет размерность
рад/с,
- амплитуда проекции поля, а x–
начальная фаза проекции поля в точке
наблюдения. Используя формулу Эйлера,
связывающую тригонометрические и
экспоненциальную функцию:
еi = cos+ i sin,
соотношению (5.1) можно представить как реальную часть комплексного выражения:
,
(5.2)
где
называется комплексной амплитудой
проекции поля. Полностью вектор
напряженности электрического поля
можно представить в виде:
,
(5.3)
где
вектор
- называется комплексным вектором
напряженности электрического поля:
.
(5.4)
каждый из векторов гармонически изменяющегося во времени поля может быть представлен в виде аналогичном (5.3). Поле подстановки этих представлений в уравнения поля и с учетом перестановочности дифференцирования и выделения реальной части получим, сокращая общий множитель еit систему уравнений относительно комплексных векторов поля:
,
(5.5)
,
(5.6)
,
(5.7)
. (5.8)
Полученная система называется уравнениями Максвелла в комплексной форме. По сравнению с исходными уравнениями они не содержат зависимость от времени, а дифференцированию по времени соответствует умножение на i. Граничные условия не содержат зависимость от времени и оказываются справедливыми для комплексных векторов. Благодаря этому уравнения поля в комплексной форме соответствуют установившимся стационарным процессам и не требуют задания т.н. начальных условий, необходимых для общих уравнений поля.
2.5 Единственность решений уравнений поля
Уравнения поля в дифференциальной форме
должны быть дополнены материальными
уравнениями, граничными условиями и
начальными условиями. Утверждение о
единственности решения уравнений поля
при определенном сочетании этих условий
называется теоремой единственности,
которая имеет разновидности. Например,
для ограниченной области V c границей s
и известным распределением электрофизических
параметров , ,
и источников решение
уравнений Максвелла единственно, если
в начальный момент времени задано
распределение электрического поля
,
а во все последующие моменты времени
известна касательная составляющая поля
.
(5.9)
Для бесконечной области, кроме указанных условий должны выполняться условия излучения. Например, для комплексных векторов поля в однородном пространстве должно выполняться одно из условий:
что физически соответствует требованию, чтобы на достаточном удалении от источников электромагнитное поле имело вид расходящейся от них сферической волны.