98. Невизначений інтеграл та його властивості.

Сукупність усіх ревісних F(x)+С для заданої ф-цфї f(x) називають невизначеним інтегралом і позначають ∫f(x)dx= F(x)+C ,де ∫-знак інтеграла, f(x)dx- підінтегральна ф-ція,х-змінна інтегрування, F(x)деяка первісна для f(x), С-довільна стала інтегрування.

Осн.властивості невизначеного інтеграла:

1)Диференціал невизначеного інтеграла = підінтегральному виразу, тобто d∫f(x)dx= f(x)dx.2)Невизначений інтеграл від диференціала ф-ції = підінтегральній ф-ції f(x)dx= f(x)+C.3) Сталий множник А можна винести за знак інтеграла ∫Аf(x)dx=А∫f(x)dx.4)Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кулькості ф-ції = тій самій алгебраїчній сумі невизначених інтегралів від кожногї із ф-цій –доданків, тобто: ∫[f(x)±g(x) ±k(x)]dx=∫f(x)dx± g(x)dx±∫k(x)dx.

99. Метод безпосереднього інтегрування невизначених інтегралів.

Метод безпосереднього інтегрування грунується на використанні табличних інтегралів, властивостей невизначеного інтеграла. Але в деяких випадках спочатку потрібно зробити алгебраїчні перетворення підінтегральної-ції.

100.Знаходження невизначеного інтеграла методом заміни змінної.

Для знаходження інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку х= φ(t),dx= φ ‘dt,тоді ∫f(x)dx= ∫f(φ(t))∙ (φ’(t)dt.

Алгоритм методу заміни змінної:

1)Частину підінтегральної ф-ції замінити на нову змінну.2) Знайти диференціал від обох частин заміни.3)Весь підінтегральний вираз подати через нову змінну, щоб одержати табличний інтеграл.4)Знайти одержаний інтеграл.5)Виконати обернену заміну.

101. Знаходження невизначеного інтеграла методом інтегрування частинами

Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, причому хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).Нехай u та v деякі функції х, тобто u = u(x),v = v(x).Розглянемо диференціал добутку цих функцій. d(uv) = udv + vdu Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо.∫d(uv)= ∫udv+∫vdu. Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо uv=∫udv+∫vdu. Отже, одержали формулу ∫udv=uv-∫vdu, яку називають формулою інтегрування частинами. Ця формула дозволяє знаходження інтеграла ∫udv звести до знаходження інтеграла∫udu . При вдалому обранні u то dv інтеграл може бути табличним або простішим ніж заданий інтеграл ∫udv.

102-103. Інтегрування функцій, які містять у знаменнику квадратний тричлен.

Інтегрування ф-цій, які містять квадратний тричлен ax^2+bx+c ,зводиться до виділення повного квадрату із квадратного тричлена.

Використовуючи метод підстановки, вводиться заміна: х±b/2a,dx=dt.

104. Метод невизначених коефіцієнтів.

Будь-який неправильний раціональний дріь розкласти на суму найпростіших раціональних дробів типу 1-4, коефіцієнти яких можна знайти за допомогою методу невизначених коефіцієнтів. Інтегрування дробів методом невизначених коефіцієнтів проводиться за такою послідовністю:

1)Перетворити даний драб у правильний.

2)Перетворити знаменник у добуток найпростіших могочленів.

3)Записати правилиний дріб у вигляді суми найпростіших дробів 1-4 типів, де в чисельнику стоять невизначені коефіцієнти.

4)Звести суму найпростіших дробів до спільного знаменника і отримати СЛАР, прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях змінної..

5)Розвязок СЛАР дає невизначені коефіцієнти.

6)Кінцевий результат отримаємо післ обчислення інтегралів від многочлена і найпростіших дробів.