111Equation Chapter 1 Section 11. Матриці, основні поняття. Різновиди матриць.

Прямокутна таблиця чисел Аij,де і=1,2…m,та j=1,2… n,яка складається з m рядків та n стовпців називається матрицею. Якщо m=n ,то матриця називається квадратною.Кількість рядків квадратної матриці називається її порядком.Матриця,в якої лише один рядок називається матрицею-рядком,а матриця ,в якої лише один стовпець-матрицею-стовпцем.Матриця ,в якої всі елементи дорівнюють 0,називається нульовою.Уквадратних матрицях виділяють головну та побічну діагоналі .Квадратна матриця називається діагональною ,якщо всі її елементи ,крім елементів головної діагоналі,дорівнюють 0.Діагональна матриця називається скалярною,якщо всі елементи гголовної діагоналі рівні між собою. Матриця А називається узгодженою матриці В,якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

2. Дії над матрицями. Властивості дій над матрицями.

Сумою двох матриць Аm*n=(aij) i Bm*n=(bij) однакових розмірів називається матриця Cm*n=( aij+ bij).Для дії додавання є такі властивості:

А+В=В+А-комутативність додавання

(А+В)+С=А+(В+С)-асоціативність додавання

А+О=А

Добутком матриці Аm*n=(aij) на матрицю Bm*n=(bij) називається така матриця Cm*n=cij,у якої елементи cij дорівнюють сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j – стовпця матриці В.

Множення двох матриць означається лише для узгоджених матриць.Матриця А називається узгодженою матриці В,якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

Властивості:

1.А*0=0,0*А=0

2.(АВ)С=А(ВС)-асоціативність множення

3.(А+В)С=АС+ВС

4.АЕ=А,ЕА=А

Добутком матриці Аm*n=(aij)на числа k називається матриця (kaij)тієї самої розмірності.

3. Визначники квадратних матриць. Способи обчислення визначників.

Квадратній матриці А n-го порядку можна поставити у відповідність число detА,яке називається визначником цієї матриці.При обчисленні визначників третього порядку зручно користуватися правилом трикутника .Для обчислення визначника 2-го порядку потрібно від добутку елементів,що стоять на головній діагоналі ,відняти добуток елементів ,що стоять на побіжній діагоналі.Також використовується метод Саррюса:дописується 2 перших стовпчиків до матриці А,тоді додані та від’ємні доданки беруться за схемою. і зведенням до трикутного виду і Лапласа.

4. Визначник n-го порядку. Теорема Лапласа.

Квадратній матриці А n-го порядку можна поставити у відповідність число detА,яке називається визначником цієї матриці. Правило Лапласа:Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця )помноженні на відповідні алгебраїчні доповнення. Алгебраїчні доповнення Аij елемента aij

називають мінор цього елемента ,взятий із знаком «плюс»,якщо сума номерів рядка і стовпчика –число парне ,та зі знаком «мінус»,якщо непарне.Мінором Мij елемента aij визначника n-го порядку називається визначник ( n-1)-го порядку,який одержимо з даного визначника шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця,на пнрнтині яких знаходиться елемент aij.

5. Визначники. Властивості визначників.

Квадратній матриці А n-го порядку можна поставити у відповідність число detА,яке називається визначником цієї матриці.Властивості визначника:

1.Визначник не змінюється ,якщо його рядки замінити відповідними стовпцями.

2.Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки ,то визначник змінить свій знак на протилежний.

3.Якщо один з рядків (стовпців )визначника складається тільки з нулів ,то визначник дорівнює нулю.

4.якщо визначник має два однакових рядки(стовпці),то він дорівнює нулю.

5.Спільний множник ,який мають усі елементи деякого рядка (стовпця)визначника,можна винести за знак визначника.

6.Якщо у визначнику елементи двох рядків (стовпців)пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

7.Визначник не змінюється ,якщо до елементів одного рядка (стовпця)додати відповідні елементи іншого рядка(стовпця),помножені на одне і теж число.