111. Формула Ньютона-Лейбніца для обчислення визначених інтегралів.

Формула Ньютона-Лейбніца дає практичний і зручний метод

обчислення визначеного інтеграла в тому випадку, коли відома первісна

від підінтегральної функції. Тільки з відкриттям цієї формули визначений

інтеграл зміг отримати те значення в математиці, яке він має сьогодні.

Обчислення визначеного інтеграла як границю інтегральної суми були

відомі ще за часів Архімеда, проте застосування цього методу

обмежувалося тими простими випадками, коли вдавалося обчислити ці

границі. Формула Ньютона-Лейбніца встановлює простий зв’язок між

первісною та визначеним інтегралом, що значно розширює область

застосування визначеного інтеграла до різних задач техніки, механіки,

астрономії і т. д.

112. Метод безпосереднього інтегрування визначених інтегралів.

Цей метод базується на рівності , де а та b – сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція f має вигляд однієї із підінтегральних функцій таб­личних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійним доданком або постійним множником або постійним множником та постійним доданком.

113. Метод інтегрування заміни змінної у визначеному інтегралі.

Має місце наступна формула заміни змінної у визначеному інтегралі , , .

114. Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Застосувавши формулу Ньютона-Лейбница до формули інтегрування частинами, маємо

115. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ фігур, обмежених лініями.

Якщо на [a, b] функції і неперервні, то площа області, обмеженої знизу графіком функції , зверху - графіком функції , зліва - прямою , справа - прямою обчислюється за формулою:

Якщо на [a, b] функції і неперервні, то площа області, обмеженої зліва графіком функції , справа - графіком функції , знизу - прямою , зверху - прямою обчислюється за формулою:

116-117. Невласний інтеграл з нескінченною верхнею межею.

Теорема. Похідна інтеграла від неперервної функції по змінній верхній межі існує і дорівнює значенню підінтегральної функції в точці, що дорівнює верхній межі.

Невласні інтеграли

Визначений інтеграл існує лише при виконанні двох умов:

1) Щоб відрізок інтегрування був скінченим;

2) Щоб підінтегральна функція f(x) була неперервною.

Якщо не виконується хоча б одна з цих двох умов, то визначений інтеграл називається невласним, причому, якщо не виконується перша умова, то такий інтеграл називається невласним інтегралом І-го роду, а якщо ж не виконується друга умова, то такий інтеграл є ІІ-го роду.

Дослідження невласних інтегралів приводять шляхом граничного переходу до визначеного інтегралу.

Якщо границі будуть існувати (дорівнюватимуть скінченому числу), то відповідні невласні інтеграли називається збіжними. Якщо ж границі не існують або дорівнюють нескінченності, то такі невласні інтеграли називаються розбіжними.

118. Визначений інтеграл існує лише при виконанні двох умов:

1) Щоб відрізок інтегрування був скінченим;

2) Щоб підінтегральна функція f(x) була неперервною.

Якщо не виконується хоча б одна з цих двох умов, то визначений інтеграл називається невласним, причому, якщо не виконується перша умова, то такий інтеграл називається невласним інтегралом І-го роду, а якщо ж не виконується друга умова, то такий інтеграл є ІІ-го роду.

119. Нехай функція визначена і неперервна при , а при функція або не визначена, або терпить розрив. У цьому випадку не можна говорити про інтеграл як про границю інтегральних сум, тому що не визначена на відрізку , і тому ця границя може і не існувати.

Інтеграл від функції , необмеженої в точці b, означається таким способом: .

Означення. Якщо границя, яка стоїть справа, існує, то інтеграл називають невласним збіжним інтегралом, у противному випадку інтеграл називають розбіжним.

120. Метод найменших квадратів — метод знаходження наближеного розв'язку надлишково-визначеної системи. Часто застосовується в регресійному аналізі. На практиці найчастіше використовується лінійний метод найменших квадратів, що використовується у випадку системи лінійних рівнянь.