Матриці, основні поняття. Різновиди матриць
Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпчиків. Їх позначають великими літерами A,B,C і т.д.
Типи матриць:
Якщо кількість рядків матриці дорівнює кількості її стовпців, то матриця називається квадратною. Квадратну матрицю розміром п на п називають матрицею п-го порядку.
Квадратна матриця у якої всі елементи крім елементів головної діагоналі дорівнюють 0 називається діагональною матрицею.
Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю називається одиничною матрицею, і позначають Е.
Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі елементи, розміщені по один бік від головної діагоналі, дорівнюють 0.
Матрицю, у якої всі елементи дорівнюють 0 називають нульовою і позначають О.
Матриця, яка складається з одного стовпця називається матрицею-стовпцем, а яка складається з одного рядка – матрицею-рядком.
Матриця розміром 1 на 1 означає те число.
Дії над матрицями. Властивості дій над матрицями
1) Сумою двох матриць одного розміру називається третя матриця, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриці А і В.
2) Добутком матриці А на число К, називається матриця С, кожний елемент якої дорівнює добутку відповідного елемента матриці на число К.
3) Добутком матриці А на матрицю В (узгоджену з А), називається матриця С, кожний елемент якої дорівнює сумі добутків елементів і-го рядка першої матриці на відповідні елементи й-го стовпчика другої матриці
(Матриця А наз. узгодженою з матрицею В, якщо числу стовпців матриці А відповідає число рядків матриці В)
Добуток матриць має такі властивості:
А(ВС)=(АВ)С
А(В+С)=АВ+АС
(А+В)С=АС+ВС
к(АВ)=(кА)В
АО=ОА=0
6)
Визначники квадратних матриць. Способи обчислення визначників
Визначником або детермінантом матриці н-го порядку називається число, яке шукається за певним правилом.
За правилом трикутника та за правилом Саррюса: до визначників 3 порядку дописуються 2 перших стовпчики , та шукаємо суму добутків елементів , які утворюють головну діагональ та утворюють прямі паралельні їй, та добутки елементів, що утворюють побічну діагональ та прямі паралельні побічній.
4. Визначник н-го порядку. Теорема Лапласа.
Визначником n–ого порядку називається число, яке дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка, або стовпчика на відповідні їм алгебраїчні доповнення.
Т. Лапласа: визначник дорівнює сумі добутків усіх елементів будь-якого рядка на їх алгебраїчне доповнення
5. Визначники. Властивості визначників.
Квадратній матриці А п-го порядку можна поставити у відповідність число detA, яке називаюь визначником цієї матриці.
Властивоті визначника.
Властивість 1: Визначник не змінюється при транспортуванні.
Властивість 2: Якщо один із рядків визначника складається з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.
Властивість 3: Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то йго знак змінюється на протилежний.
Властивість 4: Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.
Властивість 5: Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то і визначник помножиться на С.
Властивість 6: Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.
Властивість 7: Якщо всі елементи будь якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то визначник бкде дорівнювати сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок в першому визначнику і другий доданок в другому визначнику.
Властивість 8: Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи будь-якого іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.