35. Геометрична інтерпретація границі послідовності.

Розглянемо геометричну інтерпретацію границі послідовності. На числовій осі побудуємо -окіл числа а, тобто інтервал (а – ; а + ), і покажемо, як розміщуватимуться точки, які відповідають членам послідовності , при (рис. 3.12).

Рис. 3.12

Означення. Число а називається границею послідовності x_n, якщо для будь-якого -околу точки а існує номер N такий, що, починаючи з номерів , усі члени послідовності перебувають в -околі точки а (див. рис. 3.12).

Загальні властивості збіжних послідовностей

Теорема 1. (Єдиність границі послідовності). Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Теорема 2. (Необхідна умова збіжності послідовності). Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Теорема 3. Якщо , то існує такий но­мер N, що при всіх виконується нерівність .

Теорема 4. Границя сталої величини дорівнює сталій, тобто

37. Нескінченно малі функції в точці і на нескінченності означення, властивості, геометрична інтерпретація означення, приклади

Послідовність називається нескінченно малою величиною (н. м. в.), якщо .

Приклад. — н.м.в., бо .

Властивості нескінченно малих функцій:

1. Алгебраїчна сума скінченого числа нескінченно малих функцій є нескінченно мала функція

2. Добуток нескінченно малої функції на сталу величину або на обмежену функцію є нескінченно мала величина

3. Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю, є нескінченно мала функція

38.Нескінченно великі функції в точці і на нескінченності.

нескінченно велика, якщо границя ф від х , де х наближу до х0 = безмежності приклад

у= 1/x-2 є нескінченно великою при х наближу 2.

Властивості:

1.Сума скінченного числа нескінченно великих функцій є нескінченно велика функція.

2.Добуток нескінченно великої функції на функцію , границя якої не дорівнює 0, є нескінченно велика функція.

3.Частка від ділення не скін вел функт на функцію, що має границю в т х0 є нескінченно велика функція.

39. Теорема про зв`язок між нескінченно малими і нескінченно великими функціями. Теорема про зв`язок між нескінченно малими функціями та границею функції

Теорема. Зв’язок між н.в.в. і н.м.в.

1. Якщо — н.м.в. і , то обернена до неї послідовність буде н.в.в., і навпаки.

2. Якщо y_n — н.в.в., то обернена до неї — н.м.в.

Теорема про зв`язок між нескінченно малими функціями та границею функції:

Функція f(x) має границю А в точці х0 тоді і тільки тоді, коли її можна подати у вигляді суми числа А і нескінченно малої функції а(х) при х прямує до х0, тобто f(x)=A+a(x)

41.Властивості функцій, які мають границю в точці

. Властивості ф-й, які мають границю в точці: єдність границі, граничний перехід у нерівності, границя проміжної ф-ції, обмеженість ф-ції в точці.

1)ф-ція не може мати двох різних границь в одній точці.

2)якщо в деякому околі точки Хо,крім можливо самой точки Хо, виконується нерівність 0 і кожна з ф-цій та має границю в точці Хо, то .

3) Нехай в деякому околі точки Хо,крім можливо самой точки Хо, виконується нерівність

Якщо ф-ції та мають границю в точці Хо при чому , то ф-ція також має границю в цій точці і .

4)якщо ф-ція y= має в точці Хо границю, тобто , то y=f(x) – обмежена при Х Хо.