12. Основні поняття системи m лінійних рівнянь з n змінними.

Розв`язок СЛАР методом Гаусса

.Метод Гауса:

Прямий хід - СЛАР зводиться до трикутного або трапеційного вигляду.

Обернений хід – відшукання значень змінних починаючи з останнього.

р(А) =р(А1)=2 тому СЛАР сумісна, оскільки р=2, н= 4 і р<н то система невизначена і виражаємо через останні.

13. Метод Жордана-Гауса. Алгоритм кроку перетворення Жордана-Гаусса

Щоб не виконувати обернений хід метода Гаусса, здійснюють повне виключення невідомих у стовпчику за допомогою розв`язувального елемента. Цей модифікований метод Гаусса називають методом Жордана-Гаусса.

Алгоритм кроку перетворення ЖорданаГаусса:

1. Обираємо розв`язу вальний елемент , найкраще взяти одиницю.

2. Елементи і-го рядка ділимо на і записуємо в і-тий рядок

3. У розв`язу вальному j-тому стовпці замість пишуть одиницю, а замість інших елементів цього стовпця пишуть 0.

4. Усі інші елементи знаходять за формулою:

14. Основні поняття слар. Системи лінійних однорідних рівнянь.

Однорідна СЛАР завжди сумісна

Оскільки р=2, п=3 то система має безліч розв’язків.

15. Скалярний і векторний добуток. Властивості векторного добутку

Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.

Отже:

,

де  — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:

.

Векторним добутком векторів і називається третій вектор :

• довжина вектора с дорівнює , де - кут між векторами a i b

• вектор с перпендикулярний до кожного з векторів а і b

• вектори а b c утворюють праву трійку векторів

Властивості векторного добутку:

1. a*b=-b*a (антикомунікативність)

2. , де k=const

3. a*(b+c)=a*b+a*c (роз подільність)

4. a*b=0, коли a=0 або b=0, або

5. Модуль вектора c=a*b дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a i b

6. Векторний добуток векторів та визначається формулою

16. Мішаний добуток, властивості мішаного добутку.

.Мішаний добуток векторів а,в,с називається скалярним добуток вектора ав на вектор с , тобто (ав)с

Властивості

1.(ав)с=а(вс)=авс

2.авс=-вас..

3.авс=вса=сав якщо по колу то не змінюється.

4.авс=о якщо хоча б один =0

5.Модуль мішаного добутку дорівнює об’єму паралелепіпеда.

6.Мішаний добуток обчислюється за формулою.

17. Векторний простір, його розмірність і базис. Розклад вектора за базисом. Лінійно залежні і лінійно незалежні системи векторів

Упорядкована множина n дійсних чисел називається n-вимірним простором Rn

Максимальне число лінійно незалежних векторів простору називається його розмірністю. Розмірність простору дорівнює кількості базисних векторів цього простору.

Базисом n-вимірноговекторного простору Rn називається будь-яка сукупність n лінійно незалежних векторів, через які лінійно виражається довільний вектор цього простору.

Якщо вектори а1, а2,…,аn утворюють базис у просторі Rn, то довільний вектор а цього простору є лінійною комбінацією базисних векторів, тобто існують такі числа х1, х2,…хn, які одночасно не дорівнюють 0, що виконується рівність: а=х1а1+х2а2+…+хnan. Цей вираз називається розкладом вектора за базисом

Для з`ясування питання про лінійну залежність векторів достатньо обчислити ранг матриці, складену з цих векторів:

Якщо r(A)=m, то вектори лінійно незалежні, якщо r(A)<m, то вектори лінійно залежні