54. Похідна складної та оберненої функцій

Похідна оберненої ф-ції х=φ(х) по змінній у дор. оберненій величині похіднох від прямої ф-ції у=ƒ(х): .

55. Диференціювання параметрично заданих функцій

Нехай функцію від задано параметричними рівняннями:

.

Припустимо, що функції мають похідні і що функція має обернену функцію , яка також є диференційовною. Тоді визначену параметричними рівняннями функціо- нальну залежність можна розглядати як складну функцію , ( — проміжний аргумент).

На підставі теорем 6 та 7 маємо:

, .

Звідки або .

Знайдена формула дає можливість знаходити похідну від параметрично заданої функції, не знаходячи явної залежності

56. Диференціювання неявно заданих ф-й.

Якщо незалежна змінна х і функція у зв’язані рівнянням виду f(x, у) = 0, яке не розв’язане відносно у, то у називається неявною функцією х.

Незважаючи на те, що рівняння f(x, у) = 0 не розв’язане відносно у, можна знайти похідну від у по х. Прийом для знаходження по-хідної в цьому випадку полягає в тому що обидві частини рівняння f(x, у) = 0 диференціюємо по х з врахуванням, що у є функцією х, і із одержаного рівняння визначаємо у'.

57. Похідна степенево-показникових фу-й. Якщо функція визначена через операції множення, ділення та піднесення до степеня елементарних функцій, то при знаходженні похідної даної функції буває зручно перейти від явного виразу y= f(x) залежності y від x до неявного у вигляді ln y = ln f(x) . Цей прийом диференціювання називають логарифмічним диференціюванням.

Прийом логарифмічного диференціювання зручно застосовувати до так званих

степенево-показникових функцій виду y= :

58. Похідні вищих порядків.

Вираз наз. диференціалом n-го порядку фу-ї f(x), то її n-им диференціалом. З формули випливає рівність , де , тобто похідна n-го порядку фу-ї f(x) є відношення до диференціалу аргумента в степені n.

59. Диференціал та його властивості.

Нехай фу-я f(x) диференційована в т. x. Тоді df=f ‘(x) ∙Δx назив. диференціалом фу-ї f(x) у т. х

Якщо х незалежний аргумент фу-ї, то за означ. вважають приріст Δx диференціалом аргумента х і познач. його dx, тобто dx= Δx. Тоді означ. диференціала фу-ї запис. За формулою: df(х)= f ‘(x) dx, dу=у' dx.

Властивості диференціалу:

I.

II.

III.

IV.

60. Застосування диференціала до наближених обчислень.

При досить малому прирості х аргументу х диференційованої функції f(x) приріст у функції у буде близький за своєю величиною до диференціала функції. Тому приріст функції можна наближено прирівнювати до диференціала функції або ,

якщо позначити х = х - х₀, то це ж рівняння приймає вигляд:

або . Таким чином, для значення де, близьких до х₀, функцію f (x) наближено можна замінити лінійною функцією. Геометричне це заміні ділянки кривої y=f(x), прилеглої до точки (x₀,f(x₀), відрізком дотичної до кривої в цій точці: Беручи значення х₀ = 0 і обмежуючись малими значеннями х, одержимо наближену формулу

61. Правило Лапіталя.

Нехай фу-ї f(x) і g(x) задовольняють наступні умови:

1) f(x) і g(x) диференційовані у деякому проколотому околі точки

2)

3) g’(x) ≠0 для будь-якого х з цього околу

4) існує , тоді існує . Теорема справедлива і для .