6. Мінори та алгебраїчні доповнення елементів

Алгебраїчним доповненням (адюнтом) Аій з номерами ій визначника називається мінор цього елемента взятий із знаком + якщо сума номерів рядка і стовпчика число парне.

Мінором k-того порядку k є [1; n-1] називається визначник утворений з елементів, які стоять на перетені будь-яких k рядків і k товпчиків визначника.

7. Обернена матриця. Алгоритм оберненої матриці

Оберненою до заданої квадратної матриці А назив. така матриця А -1 добуток якої на матрицю А як зліва так і з права = одиничній матриці, де Е це одинична матриця також порядку що і матриця А.

Алгоритм:

1.Знайти визнчник.

2.Знаходоме алгебраїчне доповнення до кожного елемента

3.Складаємо приєднану матрицю (А*).

4.Знаходимо обернену матрицю за формулою:

5.Робимо перевірку

8. Ранг матриці. Властивості рангу матриці

Рангом матриці А розміром називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора, утвореного з елементів цієї матриці , при цьому мінор не дорівнює 0. Позначають r, rangA чи r(A). Мінор, порядок якого визначає ранг матриці називається базисним.

Властивості рангу матриці:

1. Ранг матриці дорівнює 0 тільки тоді, коли матриця нульова.

2. Ранг прямокутної матриці не перевищує меншого із її розмірів m чи n, тобто

3. Для квадратної матриці n-го порядку r = n тільки тоді, коли матриця неособлива

4. Якщо r<n, то визначник даної квадратичної матриці дорівнює нулю.

9. Основні поняття системи п лінійних алгебраїчних рівнянь з п змінними. Правило Крамера.

.Основнною матрицею системи називається матриця яка складається з коефіцієнтів при змінних.

Розширена матриця основна матриця доповнена стовпчиком вільних членів.

Розвязання СЛАР означає знайти всі його розвязки або довести що їх не має.

Система рівнянь називається сумісною якщо вона має хоча б один розвязок, і не сумісна, коли жодного.

Сумісна система називається визначеною якщо вона має 1розвязок.

2 ситеми наз. еквівалентними якщо множина їх розв’язків співпадає.

СЛАР наз. однорідною якщо всі вільні члени =0.

Крамера: Якщо основний визначник неоднорідної системи н-лінійних рівнянь з н-невідомими не= 0 то ця система має єдиний розвязок, який знаходиться за формулою хі = дельта і/дельта, де і=1 ,2… н, дельта- основний визначник системи.

10. Матричний метод розв`язання слар. Алгоритм розв`язування системи матричним способом

Запишемо систему в матричній формі і знайдемо її розв`язок. А*Х=В домножимо зліва на , маємо *А*Х= *В. Оскільки *А=Е і Е*Х=Х, то отримуємо Х= *В

Алгоритм розв`язання матричним способом:

1. Перевіряємо виконання умов:

• система повинна бути неоднорідною,

• кількість рівнянь повинна дорівнювати кількості невідомих,

• визначник основної матриці не дорівнює нулю

2. Знайти матрицю , обернену до основної матриці А

3. Знайти розв`язок Х шляхом множення матриці на матрицю вільних членів В, тобто Х= *В

11.Теорема Кронекера-Капеллі. Алгоритм розв’язування слар

Теорема Кронекера-Каппелі: система лінійних алгебрарічних рівнянь сумісна тоді, і тількі тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширенної матриці.

Алгоритм:

1. Знайти ранг основної і розширеної матриць системи. Якщо , то система несумісна, і розв`язування СЛАР припиняється

2. Якщо , то потрібно взяти r рівнянь, із коефіцієнтів яких складається базисний мінор, інші рівняння відкинути

3. Невідомі, коефіцієнти яких входять у базисний мінор, називаються базисними, їх залишають зліва, а інші (n-r) невідомі називаються вільними і їх переносять у праву частину рівняння

4. Виразити базисні невідомі через вільні

5. Якщо надати вільним змінним значення нуль, то такий розв`язок називають базисним. Невід`ємний базисний розв`язок називають опорним.