4. Використання рядів до наближених обчислень функції

5. Використання рядів до наближених обчислень визначених інтегралів

121.Диференціальні рівняння. Основні поняття та означення

Диф. Рівнянням називається рівняння, яке містить шукану похідну ф-ції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференційного рівняння. Найб. порядок пох. наз. порядком диф. р-ня.

Звич. ДР наз. нетотож. співвіднош. між шуканою ф-цією однієї змінної самою не залеж. змінною та пох. шук. ф-ції певних порядків.

Розв’язком ДР y’=f(x;y) наз. ф-ція у=(х), яка при підстановці у ДР перетвор. його у тотож.

Розвязок, що містить довільні пост. наз загальним роз. ДР.

Розв., який одерж. із заг. При деяких дов. знач. дов. постійних наз. част. розв.

122.Диференціальні рівняння першого порядку. Основні поняття

— ДР першого порядку;

123.Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

Д.Р. вигляду M(x)dx+N(y)dy=0 називаються Д.Р. з відокремленими змінними. Загальний розв’язок має вигляд:

M(x)dx+N(y)dy=C і розв. Задачі Коші з початковими умовами х=х₀, у=у₀ має вигляд:

.

Д.Р. виду N₁(y)M₁(x)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 називаються Д.Р. з відокремлюваними змінними, тобто рівняння, що зводяться до рівнянь з відокремленими змінними.

124.Задача Коші

Розгл. ДР y’=f(x;y).

Задача пошуку розв. у=(х), що задов. умови у=у₀ при х=х₀ наз. задачею Коші. Умови наз. початковими, а у₀, х₀ – поч. знач.

125.Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Д.Р. називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді:

Воно за допомогою заміни змінної y/x=u y=ux зводиться до Д.Р. з відокремлюваними змінними.

та знаходження розв’язку зводиться до квадратур:

126.Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальні рівняння виду

(8.29)

називається лінійним ДР. Якщо , то ДР є однорідним. Якщо , то ДР називається неоднорідним.

Однорідні рівняння інтегруються у квадратурах, як ДР із відокремленими змінними:

, .

127.Диференціальні рівняння другого порядку. Основні поняття

У загальному випадку ДР другого порядку має вигляд

Загальний розв’язок рівняння містить дві довільні сталі:

(8.32)

і за рахунок вибору довільних сталих можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в пошуку частинного розв’язку , що задовольняє початкові умови

Для ДР другого порядку частіше зустрічається на практиці крайова задача, коли умова на шуканий розв’язок задається при різних значеннях аргументу.

128.Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають пониження порядку

У деяких випадках можна знизити порядок ДР другого порядку (8.31) і звести до ДР першого порядку.

І. У ДР відсутня шукана функція. ДР виду

(8.33)

зводяться до ДР першого порядку, якщо візьмемо Дістанемо ДР першого порядку

(8.34)

Якщо буде знайдено загальний розв’язок цього рівняння то дістанемо

Якщо ДР другого порядку має вигляд то беремо і дістаємо ДР першого порядку з відокремлюваними змінними: