129.Рівняння Бернуллі

Рівняння Бернуллі

Диференціальне рівняння виду

, (12.24)

в якому неперервні функції, а число відмінне від

нуля та одиниці, називається рівнянням Бернуллі (при

маємо лінійне рівняння, а при - рівняння з відокремлюваними

змінними).

Покажемо, що рівняння Бернуллі зводиться до лінійного диференціального рівняння першого порядку. Для цього поділимо ліву й праву частини рівняння (12.24) на у^n та виконаємо заміну змінної . Оскільки , диференціальне рівняння Бернуллі перетворюється на рівняння

яке є лінійним. Проінтегрувавши його одним з описаних раніше способів і повернувшись від до попередньої змінної , можна отримати розв’язок рівняння Бернуллі.

Зауважимо, що зручніше розв’язувати рівняння Бернуллі, не зводячи його до лінійного, за допомогою підстановки y=u*v, тобто так само, як і лінійне неоднорідне рівняння.

130.Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

В загальному випадку Д.Р. ІІ порядку має вигляд F(x,y,y’,y’’)=0. Загальний розв’язок рівняння містить 2 довільні сталі y=(x,C₁,C₂) і за рахунок вибору C₁ і С₂ можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в пошуку частинного розв’язку y=y(x), що задовольняє початковій умові y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y₀’.

Однорідні.

Означення: Рівняння вигляду y’’+a₁y’+a₂y=0 називаються однорідними лінійними Д.Р.

Розв’язок:

y’’+a₁y’+a₂y=0

Складаємо характеристичне рівняння:

K²+a₁K+a₂=0

А) D>0

Б) D=0, K1,2= –b/2

В) D<0, K1,2 – комплексні числа. K1,2=XI

131.Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами називається рівняння виду , де p, q – сталі величини, f(x) – задана функція, неперервна на деякому проміжку (a;b). Загальним розв`язком рівняння є сума його довільного частинного розв`язку і загального розв`язку відповідного однорідного рівняння , тобто , де - загальний розв`язок однорідного рівняння, - частинний розв`язок неоднорідного рівняння. Для знаходження частинного розв`язку неоднорідних рівнянь існує два методи: метод варіації довільних сталих і метод невизначених коефіцієнтів.