149.Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

де р, q — задані дійсні числа, 0 — задана функція, неперерв¬на на деякому проміжку (а, b).

Згідно з теоремою п. 3.3, загальний розв'язок такого рівняння являє собою суму частинного розв'язку рівняння (91) і загального розв'язку відповідного однорідного рівняння. Загальний розв'язок однорідного рівняння ми вже знаходити вміємо, тому розглянемо детальніше питання про знаходження частинного розв'язку неоднорідного рівняння.

Насамперед слід зазначити, що частинний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння (91) можна знайти в квадратурах методом варіації довільних сталих (п. 3.4). Проте для рівнянь із спеціальною правою частиною частинний розв'язок можна знайти значно простіше, не вдаючись до операції інтегрування.

Розглянемо деякі з таких рівнянь.

І. Нехай права частина в рівнянні (91) має вигляд

де α — дійсне число, Рn(х) – многочлен степеня n.

Можливі такі випадки:

а) число α не є коренем характеристичного рівняння

k2 + pk + q = 0

Тоді диференціальне рівняння (91) має частинний розв'язок виду

де А0, А1,..., Аn — невизначені коефіцієнти.

Справді, підставляючи функцію (94) в рівняння (91), після скорочення на дістанемо

де — многочлен степеня n — 2t — многочлен степеня n — 1, a і — многочлени степеня n. Таким чином, зліва і справа в тотожності (95) стоять многочлени степеня n. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях n, дістанемо систему n + 1 лі¬нійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо n + 1 невідомих коефіцієнтів АІ многочлена .

Не зупиняючись далі на доведеннях (див. [24]), вкажемо форму, в якій потрібно шукати частинний розв'язок рівняння (91), залежно від виду правої частини цього рівняння;

б) якщо число α збігається з одним коренем характеристичного рівняння (93), тобто є простим коренем цього рівняння, то частинний розв'язок рівняння (91) треба шукати у вигляді

в) якщо число α є двократним коренем рівняння (93), то частинний розв'язок рівняння (91) шукають у вигляді

46. Еквівалентні нескінчені малі величини. Ланцюжок еквівалентних нескінченно малих величин. Теорема про застосування еквівалентних нескінченно малих величин про обчислення границь функцій.

Нескінченно малі величини і при називаються еквівалентними, якщо

ланцюжок еквівалентних нескінченно малих величин при

,при в ланцюжку робим заміну х на ( ).теорема: якщо α(x) α1(x) при х→х0 і при х х0, то

47. Властивості функцій, які мають границю в точці: єдність границі, граничний перехід у нерівності, границя проміжної фукції, обмеженість функції в точці.

Т1.Функція y=f(x) не може мати двох різних границь в одній точці.

Т2.Якщо в деякому околі точки х0,крім, можливо самої точки х0,виконується нерівність f(x)≤ῳ(x) і кожна з функцій f(x) і φ(x) та має границю в точці х0,то ≤

T3.Нехай в деякому околі точки х0,крім, можливо самої точки х0, то виконується нерівність φ(x)≤ f(x)≤ψ(х).Якщо функції φ(x) та ψ(х) мають границю в точці х0 при чому = =А то функція f(x) також має границю в цій точці і =А.

Т4.Якщо функція має в точці х0 границю тобто =А то y=f(x) – обмежена при х→х0.