55. Задачі, які приводять до поняття похідної: задача про продуктивність праці, задача про кутовий коефіцієнт дотичної.

Про продуктивність праці:нехай функція V=V(t) виражає кількість випущеної продукції V за час.Потрібно знайти продуктивність праці в момент часу t0.За період часу від t0 до t0+∆t кількість випущеної продукці Змінитися від значення V0=V(t0) до значення V0+∆V= V(t0+∆t),тоді середня продуктивність праці зросте за цей період часу Vсереднє=∆V/∆t.Миттєву продуктивність праці Vм у момент часу t0 можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від t0 до t0+∆t при ∆t→0.

Про кутовий коефіцієнт дотичної:Розглянем графік функції y=f(x) і 2 точки М0(х0;у0) та М1(х1;у1).Тоді ∆х=х1-х0 і ∆у=у1-у0.Проведем січну М0М1.кутовий коефіцієнт січної tg(φ)=∆x/∆y.Zroj ∆x→0 то

Дотичною до графіка функції в точці М0 називається граничне положення січної,яка проходить через точку М0 та довільну точку М1 графіка за умови ,що М1 прямує вздовж графіка до М0.

56. Означеня похідної. Диференційованість і неперервність функції в точці і на проміжку.

Похідною функції y=f(x), в даній точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу,коли останній прямує до нуля.

Функцію,яка має скінченну похідну в цій точці,називають диференційовану в цій точці.

Функцію диференційовану в кожній точці інтервалу,називають диференційовану на інтервалі.

Якщо функція f(x), має похідну в кожній точці інтервалу (a;b) то вона неперервна в цьому інтервалі.

Якщо функція розривна в деякій точці то вона має похідну в цій точці.

57. Правила диференціювання сталої, суми, добутку, частки функцій та наслідки з них.

_{Правила диференціювання:} Похідна сталої дорівнює нулеві (сonst) = 0. Якщо u — будь-яка диференційовна функція від х і с — довільна стала, то (cu)  = cu. Якщо u та v — диференційовні функції від х, то їх сума u + v є диференційовною функцією: . Добуток двох диференційовних функ­цій u та v є диференційовною функцією

58. Похідна сталої та функцій y=x.

Похідна степеневої функції: .показникової: логарифмічної:

. Похідна сталої дорівнює нулеві (сonst) = 0.

59. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної. Поняття нормалі до графіка функції та її рівняння. Економічний зміст похідної.

Похідна функції y=f(x), в точці х0- це тангенс кута нахилу дотичної до даного напряму осі Ох або f’(x)=k=tgα,k-кутовий коефіцієнт дотичної.Розглянемо рівняння дотичної і нормалі до графіка функції y=f(x), в точці х0.Оскільки дотична і нормаль проходять через точку з абсцисою х0,то рівняння будемо шукти у вигляді рівняння прямої,що проходить через задану точку М0(х0;у0),у даному напрямі,де k- кутовий коефіцієнт дотичної.Використовуючи геометричний зміст похідної одержемо f’(x0)=k.Оскільки у0= f’(x0), то отримаєм рівняння дотичної: у= f(x0)= f’(x0)(х-х0) або у= f(x0)+ f’(x0)(х-х0)

Нормаллю до графіка функції в точці М0 називається перпендикуляр проведений до дотичної в цій точці.Рівняння:у=

Похідна від обсягу випущеної продукції зо часом є продуктивністю праці в момент t0.Границю називають граничними витратами виробництва.