70.Екстремум функції, необхідня та достатня умови існування екстремуму.

Функція f(x) має в точці максимум(мінімум), якщо існує окіл цієї точки в якому для всіх х виконується нерівність f(x)<f( ) ( f(x)>f( )).

Значення f( ) наз. Максимумом (мінімумом) або локальним максимумом(мінімумом) функції f(x) в точці і позначається max f(x)= f( )( min f(x)=f( ))

Точки максимуму і мінімуму функції наз. точками екстремуму функції на проміжку (а;b), а максимум і мінімум функції називаються екстремумами функції.

Точки в яких f’(x) 0, наз. Стаціонарними, а точки в яких f’(x)=0 або не існує наз. Критичними або підозрілими на екстремум.

Необхідна умова існування екстремуму:

Для того, щоб точка була точкою екстремуму функції, визначеної в околі цієї точки, необхідно, щоб похідна функції в цій точці була рівна нулю (f’( )=0) або не існувала в точці ( ).

Достатня умова існування екстремуму

Нехай f(x) диференційовна в околі критичної точки , за винятком самої точки , в якій функція f(x) є неперервною тоді:

1. Якщо при переході через точку похідна f’(х) змінює знак з плюса на мінус, то в точці функція має максимум;

2. Якщо при переході через точку похідна f’(х) змінює знак з мінуса на плюс, то в точці функція має мінімум;

3. Якщо при переході через точку похідна f’(х) не змінює знак, то точка не є точкою екстремума функції.

71. Опуклість та вгнутість графіка функції. Необхідна і достатня умови опуклості (вгнутості) графіка функції.

Крива у= f(x) наз. Опуклою (вгнутою) на проміжку,якщо всі точки кривої лежать нижче(вище)дотичної на цьому проміжку.

Необхідні умови опуклості (вгнутості) кривої у=f(x).

Якщо на відрізку [a;b] крива у=f(x) є опуклою(вгнутою),то f”(x) для всіх точок є [a;b].

Достатні умови опуклості (вгнутості) кривої у=f(x).

Якщо f”(x) на відрізку [a;b], то крива у=f(x) є опуклою(вгнутою) на цьому відрізку.

72.Точки перегину графіка функції. Неохідна і достаня умови існування точок перегину.

Точка яка відокремлює опуклу частину від вгнутої називається точкою перегину.

Необхідна умова існування точок перегину кривої y=f(x)

Якщо - точка перегину кривої у=f(x), то f”( =0 або f”( не існує.

Достатні умови існування точок перегину кривої y=f(x)

Нехай критична точка другого роду,тобто f”( =0 або f”( не існує, і є D(y).

Якщо при переході через точку f”( змінила знак,то точка - точка перегину кривої у=f(x).

73. Асимптоти графіка функції.

Пряма до якої нескінченно близько наближаються точки графіка функції у=f(x) при необмеженому віддаленні їх від початку координат, наз асимптотою кривої у=f(x).

Пряма x=a наз. Вертикальною асимпототою кривої у=f(x), якщо хоча б одна з односторонній границь функції f(a-0) або f(a+0) дорівнює нескінченності.

Пряма у=b, де b= наз. Горизонтальною асимптотою кривої.

Пряма y=kx+b, де k= наз. Похилою асимпототою кривої.

74.Функції кількох змінних. Основні поняття.

Якщо змінна величина U залежить від n незалежних змінних ,… , то її називаю функцією кількох змінних і позначають: U=f( ,… або U=f(M), M( ,… ) є .

Сукупність усіх числових значень, які можуть приймати аргументи ,… і при яких функція U=f( ,… приймає певні дійсні значення, наз. Областю визначення функції.

Точки, в яких функція кількох змінних не визначена, наз. Розривами цієї функції.

Околом радіуса r точки ) наз. Сукупність усіх точок М( ,… простору , відстань від яких до точки менша або дорівнює r, тобто

Число А наз. Границею функції U=f( ,… точці ), якщо для будь-якого знайдеться таке число r, що для всіх точок з околу радіусом r точки виконується нерівність < .

Функція U=f( ,… називаєть неперервною в точці ), якщо вона визначена в цій точці.

Функція непервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області. Якщо функція неперервна в області D та на її межі, то вона неперервна в замкненій області.