94.Знаходження екстремуму ф-ції кількох змінних.

Точки максимуму і мінімуму функції назив. Точками екстремуму ф-ції на проміжку

(a;b), а максимум і мінімум ф-ції назив. Екстремумами ф-ції.

      Достатня умова екстремуму функції двох змінних.

            Теорема. Нехай в околі критичної точки ф-ція z=f(x,y) має неперервні похідні до другого порядку включно Розглянемо вираз:

_{тоді: якщо D(x0,y0)>0 то в т. (x0,y0)} ф-ція f(x,y) має естремум максимум, якщо і мінімум, якщо ,

_{якщо D(x0,y0)<0} то в точці _(x0,y0) ф-ція f(x,y) екстремуму не має.

У випадку , коли _{D(x0,y0)=0 екстремум в т. (x0,y0 може бути , може і не бути}

95. Знаходження умовного екстремуму.

Розглянемо ф-цію z=f(x,y). Екстремум цієї ф-ції при умові, що змінні х, у пов’язані умовою φ(х,у)=0, називається умовним. Геометрично це означає, що точка М(х,у) лежить на лінії,визначеній рівнянням φ(х,у)=0. Дл знаходження умовного екстремуму можна діяти наступним чином.

Введему ф-цію Лагранжа F(x,y)=f(x,y)+λ φ(х,у) і запишемо систему

Розвязавши сит. рівнянь отримуємо критичні точки ф-ції F(X,y) Питання про існування екстремуму в критичних точках вирішується окремо,зокрема,з фіз.. або геометр. міркувань. Для ф-ції u=f(x,,y,z) з двома рівняннями зв’язку і ф-ція Лагранжа має вигляд F=f+λ1 φ1+ λ2 φ2, а сист. записується так:

Розвязавши сит. рівнянь отримуємо критичні точки ф-ції F(X,y) Питання про існування екстремуму в критичних точках вирішується окремо,зокрема,з фіз.. або геометр. міркувань. Для ф-ції u=f(x,,y,z) з двома рівняннями зв’язку і ф-ція Лагранжа має вигляд F=f+λ1 φ1+ λ2 φ2

96.Знаходжння найб. Та найм. Значення в області D.Щоб знайти найбільше (найменше) значення неперервної функції на відрізку, треба знайти максимуми і мінімуми і порівняти їх із значеннями функції, яких вона набуває на кінцях відрізка. Найбільше (найменше) число серед утвореної множини і буде найбільшим  (найменшим) значениям ф-ції, заданої на відрізку _. При розв’язуванні практичних заач доводиться шукати найб. найм. значення ф-ції у деякій обмеженій області D. Якщо ця функція неперервна в замкненій обл. D, то за теоремою Вейєрштрасса вона приймає в D свої найб. і найм. значення. Для їх знаходження треба виявити критичні точки ф-ції в обл.. D, а потім дослідити ф-цію на екстремум на контурі(на границі)обл.. D і серед одержаних значень ф-ції вибрати найбільше і найменше.

97. Первісна для заданої функції,її осн. Властивості.

Первісною ф-ції для заданої функції f(x),називають таку ф-цію F(x), похідна якої дорівнює f(x)dx,тобто: F’(x)=f(x); dF(x)= f(x)dx.Будь-які первісні для заданої ф-ції f(x), відрізняються лише на сталий доданок С.Доведення: Нехай F1(x) i F2(x)- первісні для ф-ції f(x). Доведемо,що F1(x)= F2(x)+С. Оскільки F1(x) i F2(x) первісні для ф-ції f(x),то за означенням первісної маємо F1’(x) = f(x) i F2’(x)=f(x),тому F1’(x) = F2’(x)=f’(x), а це означає, що F1’(x)-F2’(x)=0,оскільки [F1(x)-F2(x)]=0,(C’)=0,тому F1’(x)-F2’(x)=С, тобто F1’(x) = F2’(x)+С,що й треба було довести. Наслідок : щоб знайти усю нескінченну множину первісних для заданої ф-ції, достатньо знайти лише одну первісну ф-цію, а усі інші одержати додаванням до неї сталої С.