- •2. Дії над матрицями. Властивості дій над матрицями.
- •3. Визначники квадратних матриць. Способи обчислення визначників.
- •4. Визначник n-го порядку. Теорема Лапласа.
- •5. Визначники. Властивості визначників.
- •6. Мінори та алгебраїчні доповнення елементів.
- •7. Обернена матриця. Алгоритм оберненої матриці.
- •8. Ранг матриці. Властивості рангу матриці. Елементарні перетворення матриці.
- •9. Основні поняття система n лінійних алгебраїчних рівнянь з n змінними. Правило Крамера.
- •10. Матричний метод розв’язування слар. Алгоритм розв’язування системи матричним методом.
- •11.Теорема Кронекера-Капеллі. Алгоритм розв’язання слар.
- •12.Основні поняття системи m лінійних рівнянь з n змінними. Розв’язок слар методом Гаусса.
- •13.Метод Жордана-Гаусса.Алгоритм кроку перетворення Жордано-Гаусса.
- •14. Основні положення слар
- •15.Скалярний векторний добуток. Властивості векторного добутку.
- •16.Визначення мішаного добутку, його геометричний зміст.
- •17. Векторний простір, його розмірність і базис. Розклад вектора за базисом. Лінійно залежні і лінійно незалежні системи векторів.
- •18. Рівняння лінії на площині. Вивести канонічне та параметричне рівняння прямої.
- •19. Вивести рівняння прямої, що проходить через дві точки, і рівняння прямої у відрізках на осях.
- •20. Вивести векторне рівняння прямої та загальне рівняння прямої та його випадки.
- •21. Вивести нормальне рівняння прямої та рівняння пучка прямих.
- •26. Дії над матрицями. Властивості дій над матрицями.
- •27.Визначники квадратних матриць. Способи обчислення визначників.
- •28. Визначник n-ого порядку. Теорема Лапласа.
- •29.Визначники.Властивості визначників.
- •30.Мінори та алгебраїчні доповнення елементів.
- •31. Рівняння площини у просторі: за трьома точками, у відрізках на осях, нормальне.
- •32. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.
- •33. Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин. Відстань від точки до площини.
- •34. Різновиди рівняння в просторі: канонічне, параметричні, за двома точками. Пряма як перетин двох площин.
- •35. Кут між прямими в просторі. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини. Знаходження точки перетину прямої і площини.
- •36. Поняття кривих ліній другого порядку. Дослідження рівняння другого порядку. Коло.
- •37. Еліпс: означення, рівняння, графік, вершини, півосі, фокуси, ексцентриситет, директриси.
- •38. Гіпербола: означення, рівняння, графік, спряжена гіпербола, вершини, осі, фокуси, ексцентриситет, асимптоти, директриси.
- •39. Парабола: означення, рівняння, графік,вершина, фокус, ексцентриситет, директриса. Різновиди розміщення параболи на площині та її рівняння.
- •40. Поняття числової послідовності, формула n-го члена, зростаюча, спадна, обмежена послідовність. Поняття границі числової послідовності.
- •45. Теорема про зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціями. Теорема про зв'язок між нескінченно малими функціями та границею функції.
- •123.Необхідна ознака збіжності ряду.
- •148. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
- •149.Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
- •46. Еквівалентні нескінчені малі величини. Ланцюжок еквівалентних нескінченно малих величин. Теорема про застосування еквівалентних нескінченно малих величин про обчислення границь функцій.
- •47. Властивості функцій, які мають границю в точці: єдність границі, граничний перехід у нерівності, границя проміжної фукції, обмеженість функції в точці.
- •48. Властивості границь функції: границя сталої, суми, добутку, частки функцій, границя степеневої функції.
- •49. Розкриття невизначеностей, при застосуванні ірраціональних функцій та многочленів під час обчислення границь функцій.
- •50. Перша і друга важливі границі та наслідки з них.
- •51. Неперервність функції в точці: означення Коші та означення в термінах приростів функцій та аргументу. Застосування поняття неперервності при обчисленні границь функцій.
- •52. Властивості функцій, неперервних у точці. Теорема про неперервність елементарних функцій.
- •53. Властивості функцій, неперервних на відрізку. Геометрична інтерпретація цих властивостей.
- •55. Задачі, які приводять до поняття похідної: задача про продуктивність праці, задача про кутовий коефіцієнт дотичної.
- •56. Означеня похідної. Диференційованість і неперервність функції в точці і на проміжку.
- •57. Правила диференціювання сталої, суми, добутку, частки функцій та наслідки з них.
- •59. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної. Поняття нормалі до графіка функції та її рівняння. Економічний зміст похідної.
- •60. Похідна складної та оберненої функцій.
- •61. Диференціювання параметрично заданих функцій.
- •63. Похідна степенево-показникових функцій.
- •64. Похідні вищих порядків.
- •70.Екстремум функції, необхідня та достатня умови існування екстремуму.
- •71. Опуклість та вгнутість графіка функції. Необхідна і достатня умови опуклості (вгнутості) графіка функції.
- •72.Точки перегину графіка функції. Неохідна і достаня умови існування точок перегину.
- •73. Асимптоти графіка функції.
- •74.Функції кількох змінних. Основні поняття.
- •75. Функції двох змінних. Область визначення.
- •76.Лінії рівня функції двох змінних.
- •77. Частинний приріст і частинні похідні I-го порядку.
- •79. Використання повного диференціала до наближених значень.
- •80.Похідна за напрямом.
- •82.Частинні похідні вищих порядків. Теорема про рівність мішених похідних.
- •88. Частинний приріст і частинні похідні I-го порядку.
- •90. Частинні похідні вищих порядків. Теорема про рівність мішених похідних.
- •93.Обчислення наближеного значення в точці за допомогою повного диференціала.
- •94.Знаходження екстремуму ф-ції кількох змінних.
- •95. Знаходження умовного екстремуму.
- •97. Первісна для заданої функції,її осн. Властивості.
- •98. Невизначений інтеграл та його властивості.
- •99. Метод безпосереднього інтегрування невизначених інтегралів.
- •100.Знаходження невизначеного інтеграла методом заміни змінної.
- •101. Знаходження невизначеного інтеграла методом інтегрування частинами
- •104. Метод невизначених коефіцієнтів.
- •106. Інтегрування тригонометричних функцій.
- •109. Визначений інтеграл та його властивості.
- •110. Задача, що приводить до поняття визначеного інтеграла.
- •111. Формула Ньютона-Лейбніца для обчислення визначених інтегралів.
- •121. Поняття ряду. Збіжність ряду та його сума.
- •122. Властивості збіжних рядів.
- •123. Необхідна ознака збіжності ряду.
- •124. Еталонні ряди.
- •128.Радикальна ознака Коші.
- •129. Інтегральна ознака Коші.
- •130. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца.
- •134. Радіус, інтервал, область збіжності ряду.
- •135. Ряд Тейлора.
- •136.Ряд Маклорена.
- •138. Використання рядів до наближених обчислень функцій.
- •139. Диференціальні рівняння. Основні поняття та означення.
- •140. Диф. Рівняння і порядку. Основіні поняття.
- •141. Диф.Рівняння з відокремлюваними змінними.
- •142.Задача Коші
- •143.Однорідні диференціальні рівняння першого порядку .
- •145. Диференціальні рівняння другого порядку. Основні поняття.
- •146. Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають пониження порядку.
15.Скалярний векторний добуток. Властивості векторного добутку.
Скалярним добутком двох векторів ᾱ та ᵬ називається дійсне число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними і позначається ab.
Якщо хоча б один з векторів a чи b нульовий,то за означенням ab = 0.
Властивості:
1.ab=ba
2.(ka)b=k(ab)
3.a(b+c)=ab+ac
16.Визначення мішаного добутку, його геометричний зміст.
Розглянемо добуток векторів і , складений в такий спосіб: Тут перші два вектори перемножуються векторно, а їхній результат скалярно на третій вектор. Такий добуток називається векторно-скалярним, або мішаним, добутком трьох векторів. Мішаний добуток являє собою деяке число.
З'ясуємо геометричний зміст виразу Побудуємо паралелепіпед, ребрами якого є вектори й і вектор (див. рис. 21.).
рис. 21.
Маємо: де - площа паралелограма, побудованого на векторах і , для правої трійки векторів і для лівої, де - висота паралелепіпеда. Одержуємо: , тобто , де V – об'єм паралелепіпеда, утвореного векторами і .
Таким чином, мішаний добуток трьох векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, узятому зі знаком «плюс», якщо ці вектори утворюють праву трійку, і зі знаком «мінус», якщо вони утворюють ліву трійку.
Властивості мішаного добутку.1. Мішаний добуток не змінюється при циклічній перестановці його співмножників, тобто Дійсно, у цьому випадку не змінюється ні об'єм паралелепіпеда, ні орієнтація його ребер.2. Мішаний добуток не міняється при зміні місцями знаків векторного і скалярного множення, тобто Дійсно, і . Знак у правій частині цих рівностей беремо той самий, тому що трійки векторів - однієї орієнтації. Отже, Це дозволяє записувати мішаний добуток векторів у виді без знаків векторного, скалярного множення.3. Мішаний добуток змінює свій знак при зміні місць будь-яких двох векторів-співмножників, тобто , , Дійсно, така перестановка рівносильна перестановці співмножників у векторному добутку, що змінює в добутку знак4. Мішаний добуток ненульових векторів і дорівнює нулеві тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.
Якщо то - компланарні.
Допустимо, що це не так. Можна було б побудувати паралелепіпед з обсягом Але тому що , те одержали б, що Це суперечить умові:
Назад, нехай вектори - компланарні. Тоді вектор буде перпендикулярний площини, у якій лежать вектори , і, отже, Тому тобто
17. Векторний простір, його розмірність і базис. Розклад вектора за базисом. Лінійно залежні і лінійно незалежні системи векторів.
18. Рівняння лінії на площині. Вивести канонічне та параметричне рівняння прямої.
Рівняння першого степеня, що зв’язує координати точки на площині, - це рівняння
(3.3)
при умові
В декартовій системі координат на площині кожна пряма лінія може бути задана лінійним рівнянням і, навпаки, кожне лінійне рівняння (3.3) визначає пряму лінію .
Рівняння (3.3) називається загальним рівнянням прямої на площині.
Нехай точка лежить на прямій ( ). Це значить, що її координати задовольняють рівняння (3.7)
Вираховуючи із рівняння (3.7) дану рівність, одержимо рівняння прямої, що проходить через задану точку
(3.4)
Якщо довільна точка на прямій, то вектор повністю лежить на прямій а ліва частина рівності (3.8) виражає скалярний добуток векторів і Оскільки скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, то вони є перпендикулярні , а це значить, що вектор перпендикулярний прямій . Вектор, який перпендикулярний до прямої називається нормальним вектором прямої. Вектор який паралельний прямій, називається направляючим вектором прямої. Очевидно, що і, наприклад,
Нехай задана пряма Позначимо через радіус-вектор її початкової точки . Розглянемо тепер деяку точку , радіус-вектор якої позначимо через (рис.3.7). Вектор , початок якого лежить на прямій, паралельний прямій тоді і тільки тоді, коли його кінець ( точка ) також лежить на прямій. В цьому
Рис.3.7
випадку для точки знайдеться таке число (параметр), що
(3.5)
Рівняння (3.5) називається векторно-параметричим рівнянням прямої.
Нехай в загальному вигляді направляючий вектор має координати Записавши рівняння (3.5) в координатній формі, одержимо параметричні рівняння прямої на площині
(3.6)
Виключаючи із рівнянь (3.6) параметр одержимо канонічне рівняння прямої (3.7)
Із рівняння (3.17) одержимо