75. Функції двох змінних. Область визначення.

Функція z наз. Функцією двох незалежних змінних х та у , якщо кожній парі (х;у) з деякої області їх зміни відповідає певне єдине значення величини z: z=f(x;y)

Cукупність всіх впорядкованих наборів чисел виду (х;у), при якій функція z=f(x;y) приймає певні дійсні значення наз областю визначення функції.

76.Лінії рівня функції двох змінних.

Якщо змінна величина u залежить від n незалежних змінних , , ..., , то її називають функцією кількох змінних і позначають: u = f ( , , ..., ) або u = f(M), M( , , ..., ,) є Еn, , ,..., , – незалежні змінні або аргументи є рівноправними.

Криві лінії, що лежать у площині ХОУ і мають рівняння f(x;y) = c (c – const), називаються лініями рівня функції z = f (x;y).

77. Частинний приріст і частинні похідні I-го порядку.

Функція z одержить приріст Δхz = f (x+ Δx,y) – f (x; y), який називають частинним приростом по змінній х.

Якщо приросту надати змінній у, то функція z одержить приріст ΔуZ = f (x+ Δx,y) – - f (x; y), який називають частинним приростом по змінній у.

Якщо існує границя lim , що не залежить від способу прямування , то її називають частинною похідною першого порядку функції : u = f ( , , ..., ) по змінній і позначають або або u´ .

78. Повний приріст і повний диференціал функції двох змінних.

Нехай маємо функцію двох змінних z = f (x;y). Якщо х та у мають одночасно приріст Δх та Δу, то різницю f (x+Δx; y+Δу) – f(x;y) називають повним приростом функції і позначають Δz = f (x+Δx; y+Δу) – f(x;y)

Головна лінійна відносно Δх та Δу частина повного приросту функції називається повним диференціалом:

dz = f´x(x,y) Δх + f´y(x,y) Δу

79. Використання повного диференціала до наближених значень.

Використання повного диференціала до наближених значень ґрунтується на формулі:

80.Похідна за напрямом.

Похідна функції z y напрямі вектора знаходиться за формулою:

, де

Похідна функції u = f (x,y,z) за напрямом вектора знаходиться за формулою: ,де напрямні косинуси вектора .

81.Градієнт функції.

Вектор, який вказує напрям найшвидшого зростання функції z = f (x;y), називають градієнтом gradz = Модуль градієнта визначає швидкість зростання функції.Для функції u= f (x;y,z) градієнт знаходять за формулою:

82.Частинні похідні вищих порядків. Теорема про рівність мішених похідних.

Ч астинну похідну першого порядку по змінній від частинної похідної першого порядку по змінній називають частинною похідною другого порядку функції по змінній та і позначають:

п при , при k = m.

Теорема. Якщо функція z = f (x;y) та похідні неперервні в точці (х;у) та в деякому її околі, то в цій точці .

83. Алгоритм дослідження функції на екстремум.

Максимум та мінімум функції кількох змінних називають екстремумами функції, а точку , де ф-ція має екстремум називають точкою екстремуму ф-ції.

Алгоритм. 1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти частинні похідні I-го порядку та .

3. Розв’язати систему та знайти критичні точки.

4.За достатніми ознаками зробити висновок про екстремум.

5. Знайти значення функції в точках екстремуму.

84. Алгоритм дослідження функції на опуклість і точки перегину.

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти другу похідну .

3. Знайти критичні точки другої похідної, тобто точки, в яких або не існує.

4. Дослідити знак на інтервалах, які розбивають область визначення функції її критичні точки.

5. Зробити висновок про характер інтервалів опуклості та існування точок перегину.

6. Знайти точки перегину .

85. Загальна схема побудови графіка функції за допомогою похідної.

1. Область визначення функції, точки перегину з осями координат.

2. Дослідження функції на парність (непарність), періодичність.

3. Знаходження асимптот графіка функції.

4. Дослідження ф-ції на монотонність, екстремум.

5. Дослідження на опуклість, вгнутість та точки перегину графіка функції.

6. Побудова графіка функції.

86. Правило Лапіталя.

Нехай функції f(x) та g(х) визначені і диференційовані в околі точки , частка в точці має невизначеність або , існує тоді існує і виконується рівність: = . Правило Лапіталя можна застосовувати повторно.

87. Екстремум ф-ції, необхідна та достатня умови існування екстремуму.

Максимум та мінімум функції кількох змінних називають екстремумами функції, а точку , де ф-ція має екстремум називають точкою екстремуму ф-ції.

Необхідна умова існування екстремуму.

Для того, щоб точка була точкою екстремуму ф-ції, визначеної в околі цієї точки, необхідно, щоб похідна ф-ції в цій точці була рівна нулю або не існувала в цій точці .

Достатня умова існування екстремуму.

Нехай f (x) диференційована в околі критичної точки , за винятком, можливо, самої точки , в якій ф-ція f (x) є неперервною . Тоді:

1. Якщо при переході через точку похідна змінює знак з мінуса на плюс, то в точці ф-ція має мінімум.

2. Якщо при переході через точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то в точці ф-ція має максимум.

3. Якщо при переході через точку похідна не змінює знак, то точка не є точкою екстремума ф-ції.