11.Теорема Кронекера-Капеллі. Алгоритм розв’язання слар.

Нехай задано систему m лінійних рівнянь з n невідомими. Складаємо основну матрицю А та розширену матрицю Ᾱ цієї системи.

Для того,щоб система лінійних рівнянь була сумісною,необхідно і достатньо,щоб ранг її основної матриці дорівнював рангу розширеної матриці.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює числу невідомих системи,то система має один розв’язок.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рану розширеної матриці,але менше числа невідомих систем,то система має безліч розв’язків.

Алгоритм:

1.Знайти ранг основної і розширеної матриць системи.

2.Якщо r(A)=r(A₁)=r,то потрібно взяти r рівнянь,із коефіцієнтів яких складаємо базисний мінор,інші рів-ня відкинути.

3.Базині невідомі залишають зліва,а інші невідомі переносять у праву частину рів-ня.

4.Виразити базисні невідомі через вільні. Отримаємо загальний розв’язок.

5.Якщо надати вільним значення нуль,то такий розв’язок називають базисним.

12.Основні поняття системи m лінійних рівнянь з n змінними. Розв’язок слар методом Гаусса.

Метод Гаусса ґрунтується на елементарних перетвореннях системи лінійних рівнянь. Нехай маємо систему m лінійних рівнянь з n невідомими.

Серед коефіцієнтів при невідомому х₁ є хоча б один відмінний від 0.Можна вважати,що а₁₁ не дорівнює 0. Перетворимо систему, виключаючи х₁ в усіх рівняннях крім першого.

Нехай х_к - невідоме з найменшим номером,

яке входить хоча б в одне рів-ня одержаної системи,починаючи з другого. Можна вважати, що х_к входить саме в друге рів-ня. Виключаємо х_к з усіх рів-нь,починаючи з третього.

Через скінчене число кроків одержимо один з трьох випадків:

1.0Х₁ + 0Х₂ +…+ 0Х_n = b

де b не дор. 0.Тоді так рів-ня,а значить і система не має розв’язків.

2. Перетворена система матиме трикутний вигляд.

3.Перетворена система матиме трапецієподібний вигляд.

13.Метод Жордана-Гаусса.Алгоритм кроку перетворення Жордано-Гаусса.

Щоб не виконувати обернений хід метода Гаусса, здійснюють повне виключення невідомих у стовпчику за допомогою розв’язуваного елемента. Цей метод називають методом Жордана-Гаусса.

Алгоритм:

• Обираємо розв’язуваний елемент a_ij не дор. 0(доцільно обирать 1).

• Елементи i-го рядка ділимо на a_ij і записуємо у i-й рядок.

• У розв’язуваному j –ому стовбці замість a_ij пишуть 1,а замість інших елементів цього стовпця пишуть 0.

14. Основні положення слар

Розв’язком СЛАР називається n значення невідомих х₁=С₁ , х₂=С₂ … х_n=C_n при підстановці яких всі рівняння системи перетворюються в правильні рівності.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Сумісна система називається визначеною,якщо вона має лише один розв’язок, і невизначена, якщо має безліч розв’язків.

Сукупність всіх часткових розв’язків називається загальним розв’язком.

Дві системи рівнянь називаються еквівалентними, якщо множини їхніх розв’язків співпадають.

СЛАР називають однорідною, якщо всі вільні члени b_i дорівнюють нулю.