Геометрические свойства скалярного умножения векторов

Г1⁰. .

□ Пусть , тогда

или ;

или ;

или .

Обратно, пусть , тогда . ■

Г2⁰. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

□ .■

Из этого свойства получаем важное следствие:

.

Прежде чем сформулировать третье свойство, дадим понятие проекции вектора на направление, определяемое вектором .

Пусть даны два вектора , V.

Возьмем в пространстве произвольную точку А и отложим от нее вектор , т.е. (рис. 11).

Возьмем прямую s|| и зададим на ней направление вектором (такая направленная прямая называется осью). Проведем в пространстве через точку А плоскость , через точку В – плоскость . Пусть , .

Проекцией (скалярной) вектора на направление, определяемое вектором , называется число, равное

, если ;

, если .

Обозначение: .

Г3⁰. .

Алгебраические свойства скалярного умножения векторов

А1⁰. .

А2⁰. ; .

А3⁰. .

Следствие. . Это свойство можно распространить и на большее число слагаемых.

Теорема 1 (скалярное произведение в координатах). Если в ортонормированном базисе , , то

.

□ По определению координат вектора , . Используя свойства Г1⁰,Г2⁰, А1⁰-А3⁰ и то, что , , и , получаем:

. ■

Следствие 1. .

Следствие 2 (условие ортогональности двух векторов в координатах).

.

Следствие 3. .

В физике скалярное произведение векторов применяется для вычисления работы силы по перемещению материальной точки из положения в положение (рис. 12):

.

Скалярное умножение векторов широко применяется к решению содержательных геометрических задач и доказательству теорем.

Приведем пример доказательства теоремы Пифагора и теоремы косинусов.

Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем

1. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

□ Пусть в . Докажем, что .

З апишем сначала векторное равенство для векторов, содержащих стороны , применив правило треугольника:

(рис. 13).

Возведем это векторное равенство в скалярный квадрат: .

По следствию из свойства А3⁰

.

Так как , то по свойству Г1⁰ . Применив Г2⁰, получаем:

.

Учитывая, что , , (т.е. длина вектора - это длина отрезка АВ), окончательно будем иметь:

. ■

2. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

□ Докажем, что (рис. 14).

Представим вектор в виде разности векторов двух других сторон:

.

Возведем обе части этого векторного равенства в скалярный квадрат:

.

Далее воспользуемся следствием из свойства А3⁰:

.

Учитывая, что , , и , получим:

,

откуда

. ■

Задания для самостоятельной работы

1 . Найдите величину угла между векторами и (рис. 15).

2. Может ли величина угла между векторами равняться 270⁰?

3. Произведение - это число или вектор?

4. Верно ли равенство ? Если да, то докажите его справедливость для любых векторов , и ; если нет, то приведите пример, подтверждающий этот вывод.

5. Докажите, пользуясь скалярным произведением, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны, а диагонали квадрата не только взаимно перпендикулярны, но и равны.