Геометрические свойства скалярного умножения векторов
Г10.
.
□
Пусть
,
тогда
или
;
или
;
или
.
Обратно, пусть
,
тогда
.
■
Г20.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату
его длины:
.
□
.■
Из этого свойства получаем важное следствие:
.
Прежде чем сформулировать третье свойство, дадим понятие проекции вектора на направление, определяемое вектором .
Пусть даны два вектора , V.
Возьмем в пространстве
произвольную точку А
и отложим от нее вектор
,
т.е.
(рис. 11).
Возьмем прямую
s||
и зададим на ней направление вектором
(такая
направленная прямая называется осью).
Проведем в пространстве через точку А
плоскость
,
через точку В
– плоскость
.
Пусть
,
.
Проекцией
(скалярной) вектора
на направление, определяемое вектором
,
называется число, равное
,
если
;
,
если
.
Обозначение:
.
Г30.
.
Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
А10.
.
А20.
;
.
А30.
.
Следствие.
.
Это свойство можно распространить и на
большее число слагаемых.
Теорема 1 (скалярное
произведение в координатах).
Если в ортонормированном базисе
,
,
то
.
□ По определению
координат вектора
,
.
Используя свойства Г10,Г20,
А10-А30
и то, что
,
,
и
,
получаем:
.
■
Следствие 1.
.
Следствие 2 (условие ортогональности двух векторов в координатах).
.
Следствие 3.
.
В
физике скалярное произведение векторов
применяется для вычисления работы силы
по перемещению материальной точки из
положения
в положение
(рис. 12):
.
Скалярное умножение векторов широко применяется к решению содержательных геометрических задач и доказательству теорем.
Приведем пример доказательства теоремы Пифагора и теоремы косинусов.
Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
1. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
□ Пусть в
.
Докажем, что
.
З
апишем
сначала векторное равенство для векторов,
содержащих стороны
,
применив правило треугольника:
(рис. 13).
Возведем это
векторное равенство в скалярный квадрат:
.
По следствию из свойства А30
.
Так как
,
то по свойству Г10
.
Применив Г20,
получаем:
.
Учитывая, что
,
,
(т.е. длина вектора
- это длина отрезка АВ),
окончательно будем иметь:
. ■
2. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
□
Докажем, что
(рис. 14).
Представим вектор в виде разности векторов двух других сторон:
.
Возведем обе части этого векторного равенства в скалярный квадрат:
.
Далее воспользуемся следствием из свойства А30:
.
Учитывая, что
,
,
и
,
получим:
,
откуда
.
■
Задания для самостоятельной работы
1
.
Найдите величину угла между векторами
и
(рис. 15).
2. Может ли величина угла между векторами равняться 2700?
3. Произведение
- это число или вектор?
4. Верно ли равенство
?
Если да, то докажите его справедливость
для любых векторов
,
и
;
если нет, то приведите пример, подтверждающий
этот вывод.
5. Докажите, пользуясь скалярным произведением, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны, а диагонали квадрата не только взаимно перпендикулярны, но и равны.