Задания для самостоятельной работы
Найдите каноническое уравнение оси ; оси аффинной системы координат .
Найдите каноническое уравнение прямой, отсекающей на координатных осях отрезки
.Могут ли числа а и в в уравнении прямой «в отрезках» быть равными нулю одновременно? Почему? Может ли только одно из чисел равняться 0? Почему?
Какое из следующих шести уравнений является уравнением прямой в «в отрезках», а какое – не является и почему? Как привести его к виду «в отрезках»?
а)
|
г)
|
ж)
|
б)
|
д)
|
з)
|
в)
|
е)
|
и)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Напишите уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок
и имеющей угловой коэффициент
.Почему для прямой, параллельной оси , не существует уравнения с угловым коэффициентом? Существует ли для такой прямой уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом и почему?
Напишите уравнение прямой, проходящей через точку
и не имеющей углового коэффициента.Напишите уравнения всех прямых, содержащих стороны правильного шестиугольника
,
если сторона шестиугольника равна а,
а система координат
выбрана так, что начало О
совпадает с точкой А,
точка В
лежит на положительном луче оси
и точка Е –
на положительном луче оси
.Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку
и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 12. Система
координат прямоугольная декартова.Можно ли пользоваться уравнениями (10)-(17) в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости и почему?
§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
Докажем следующую теорему об общем уравнении прямой:
Теорема 1.
Любая прямая на плоскости задается в
аффинной системе координат уравнением
первой степени с двумя неизвестными
,
где А
и В
не равны 0 одновременно. Обратно, линия
на плоскости, заданная в аффинной системе
координат уравнением первой степени
(где А
и В
не равны 0 одновременно), есть прямая.
Вектор
является направляющим вектором этой
прямой.
□ Пусть
прямая,
.
Запишем каноническое уравнение прямой
:
.
Преобразуем его:
.
Положим
.
Тогда уравнение прямой
имеет вид:
.
Так как
(по определению), то
и
не равны 0 одновременно, следовательно,
А
и В
не равны 0 одновременно.
Докажем обратное
утверждение. Пусть некоторая линия
задана в аффинной системе координат на
плоскости уравнением
,
где
.
Докажем, что
прямая.
Найдем уравнение
прямой
,
заданной точкой
и направляющим вектором
,
где А,
В
и С
взяты из уравнения линии
:
.
Преобразуем это
уравнение:
.
Итак,
,
причем
,
т.к.
.
Уравнение прямой в точности совпадает с уравнением линии , следовательно, совпадает с , т.е. есть прямая.
Так как вектор является направляющим вектором прямой , а совпадает с , то направляющий вектор прямой . ■
Уравнение называется общим уравнением прямой;
х и у – текущие координаты произвольной точки прямой.