Задания для самостоятельной работы
Запишите в координатном виде условие того, что прямые
и
являются скрещивающимися.Запишите в координатном виде условие того, что прямые и (см. задание 1) пересекаются.
Запишите в координатном виде условие параллельности прямых и (см. задание 1).
Запишите в координатном виде условие совпадения прямых и (см. задание 1).
Выясните взаимное расположение прямой
и оси: а)
;
б)
;
в)
аффинной системы координат
.Выясните взаимное расположение прямой
и координатной плоскости: а)
;
б)
;
в)
.
§26. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
1. Угол между двумя прямыми в пространстве.
Возьмем в пространстве две непараллельные прямые и . Тогда и являются либо пересекающимися, либо скрещивающимися. Если и пересекаются, то они образуют четыре угла. Тогда углом между и называется тот из четырех углов, который по величине не превосходит остальные.
П
усть
и
являются скрещивающимися. Возьмем в
пространстве произвольную точку
и проведем через нее прямые
и
(рис. 82). Прямые
и
образуют четыре угла с вершиной
.
Тот из них, который по величине не
превосходит остальные, называется углом
между прямыми
и
.
Выведем формулу для вычисления косинуса угла между прямыми и . Пусть и направляющие векторы прямых и соответственно. Возможны два случая:
а) Если
,
то
.
Тогда
.
б) Если
,
то
.
Тогда
.
Из пунктов а), б)
следует, что
.
Таким образом,
.
(35)
2. Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.
Из формулы (35) получаем:
.
Итак,
(две прямые в пространстве взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю).
Заметим, что взаимно перпендикулярные прямые в пространстве могут быть как пересекающимися, так и скрещивающимися.
3. Угол между прямой и плоскостью.
Напомним, что прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.
Е
сли
не перпендикулярна
,
то углом
между прямой
и плоскостью
называется острый угол между прямой
и ее проекцией на плоскость
(рис. 83).
Если
,
то угол между
и
считается равным
.
Пусть
и
не перпендикулярна
,
направляющий вектор прямой
,
а плоскость
задана в прямоугольной декартовой
системе координат общим уравнением
.
Найдем величину угла
между прямой
и плоскостью
.
Положим
.
Возможны два случая:
а) Если
(рис. 84, а), то
.
б) Если
(рис. 84, б), то
.
Из пунктов а), б)
следует, что
.
Учитывая, что
,
получаем:
.
(36)
Заметим, что если
,
то
,
тогда
(соответственные
координаты коллинеарных векторов
пропорциональны). Тогда левая часть
формулы (36) будет равна:
,
а правая –
.
Таким образом, если , то формула (36) также справедлива.
4. Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
.
Применяя условие коллинеарности двух
векторов в координатах, получим:
.