- •Список рекомендуемой литературы
- •Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§1. Понятие вектора
- •Задания для самостоятельной работы
- •§2. Сложение и вычитание векторов
- •Правило треугольника
- •Правило параллелограмма
- •Правило многоугольника
- •Правило построения разности двух векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •§3. Умножение вектора на число
- •§4. Линейная зависимость векторов и ее свойства
- •Примеры
- •Свойства линейно зависимой системы векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 3 Базис. Координаты вектора
- •§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
- •И их свойства
- •Свойства координат векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
- •§6. Скалярное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства скалярного умножения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
- •Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 5 Нелинейные операции над векторами
- •§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§8. Векторное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства векторного умножения векторов
- •Алгебраические свойства векторного умножения векторов
- •Применение векторного произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •§9. Смешанное произведение трех векторов
- •Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
- •Применение смешанного произведения трех векторов
- •§10. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§11. Основные аффинные и метрические задачи
- •Основные аффинные задачи
- •Основная метрическая задача
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 8 Формулы преобразования координат
- •§12. Преобразование аффинной системы координат
- •Частные случаи преобразования аффинной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
- •Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§14. Полярные координаты
- •Задания для самостоятельной работы
- •Прямая линия на плоскости Лекция 9 Прямая в аффинной системе координат
- •§15. Различные уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •§18. Уравнение прямой, заданной точкой и
- •Задания для самостоятельной работы
- •§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости
- •§20. Различные уравнения плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§21. Общее уравнение плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§22. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
- •§23. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •§24. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
- •§25. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§26. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
Пользуясь теоремой 1 из § 22, выведите уравнение плоскости, параллельной плоскости и проходящей через начало координат.
Найдите уравнение плоскости, параллельной плоскости и проходящей через точку .
В аффинной системе координат задана плоскость . Какая фигура определяется условием: а) ; б) ?
Верно ли утверждение, что плоскость пересекает отрезок , где , тогда и только тогда, когда и почему?
Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и содержащей линию пересечения плоскостей и .
Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
§23. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
1. Уравнение плоскости, заданной точкой и вектором нормали.
Ненулевой вектор называется перпендикулярным плоскости, если он ортогонален любому вектору, параллельному этой плоскости или лежащему в ней.
Вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали этой плоскости или ее нормальным вектором.
Вектор нормали плоскости будем обозначать через .
Пусть в пространстве дана прямоугольная декартова система координат , плоскость , и .
(рис. 70).
Переходя к координатам, получаем уравнение
. (27)
Уравнение (27) называется уравнением плоскости, заданной точкой и вектором нормали.
С ледовательно, коэффициенты А, В и С при х, у и z в общем уравнении плоскости, заданном в прямоугольной декартовой системе координат, имеют следующий геометрический смысл: А, В и С есть координаты вектора нормали данной плоскости.
2. Расстояние от точки до плоскости.
Пусть в пространстве дана плоскость и не принадлежащая ей точка . Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра , проведенного из точки к плоскости (рис. 71): . Если , то .
П усть в прямоугольной декартовой системе координат дано уравнение плоскости и точка , не принадлежащая плоскости . Тогда расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:
.
Доказательство этой формулы аналогично доказательству формулы для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости.
3. Расстояние между двумя параллельными плоскостями.
Пусть две параллельные плоскости и заданы в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями и соответственно. Выведем формулу для вычисления .
Заметим, что , где . Пусть . Так как , то . Поэтому . Итак,
.
4. Угол между двумя пересекающимися плоскостями.
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат .
Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Углом между двумя пересекающимися плоскостями будем называть тот из четырех двугранных углов, который по величине не превосходит остальные. Величину линейного угла этого двугранного угла будем обозначать через .
Выведем формулу для вычисления косинуса угла между плоскостями и .
Пусть и векторы нормалей плоскостей и . Зная величину угла , можно вычислить величину угла . При этом возможны два случая:
а) Если (рис. 72, а), то , следовательно, .
б ) Если (рис. 72, б), то , следовательно, .
Из пунктов а) и б) следует, что
.
Учитывая, что , получаем:
.
Условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид:
.