Задания для самостоятельной работы

1. В аффинной системе координат задана прямая уравнением . Какая фигура определяется условием: а) ; б) ?

2. Верно ли утверждение, что прямая пересекает отрезок , где , тогда и только тогда, когда и почему?

3. Даны треугольник с вершинами и прямая . Существует ли на прямой точки, являющиеся внутренними точками треугольника ?

4. Существуют ли значения коэффициентов А и В, при которых прямые, заданные уравнениями и , параллельны?

5. Какой вид имеет уравнение прямой, параллельной прямой и проходящей через: а) начало координат; б) точку ?

6. Дано уравнение пучка прямых . Докажите, что прямые и принадлежат этому пучку.

Лекция 10

Прямая в прямоугольной декартовой

системе координат

§18. Уравнение прямой, заданной точкой и

вектором нормали

Ненулевой вектор называется перпендикулярным данной прямой, если он ортогонален любому направляющему вектору этой прямой.

Вектор, перпендикулярный прямой, называется вектором нормали этой прямой или ее нормальным вектором. Для каждой прямой на плоскости существует бесконечное множество векторов нормали. Любые два из них коллинеарны (рис. 60).

Вектор нормали прямой будем обозначать через .

Лемма 1. Если прямая в прямоугольной системе координат задана уравнением , то вектор перпендикулярен прямой .

□ Возьмем направляющий вектор прямой и найдем скалярное произведение . ■

Следствие. Уравнение прямой , заданной в прямоугольной декартовой системе координат точкой и вектором нормали , имеет вид .

□ Если , то (рис. 61)  .

Если , то вектор не ортогонален вектору , т.е. .

Итак, доказано, что точка тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

. ■ (19)

Уравнение (19) называется уравнением прямой, заданной точкой и вектором нормали.

Замечание. Если в прямоугольной декартовой системе координат прямая задана общим уравнением , то геометрический смысл коэффициентов при х и у состоит в следующем: А и В есть координаты вектора нормали прямой , т.е. .

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите координаты вектора нормали оси ; оси прямоугольной декартовой системы координат .

2. Найдите координаты вектора нормали прямой: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Можно ли записать уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали, в аффинной системе координат и почему?

4. В прямоугольной декартовой системе координат прямая задана уравнением . Найдите уравнение прямой , проходящей через точку и перпендикулярной прямой . Решите задачу двумя способами.

§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости

1. Расстояние от точки до прямой.

Пусть на евклидовой плоскости дана прямая и точка .

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра , проведенного из точки к прямой (рис. 62). Если , то считают, что расстояние от до равно 0. Расстояние от точки до прямой будем обозначать через .

Поставим следующую задачу: вычислить , если известны координаты точки и общее уравнение прямой в прямоугольной декартовой системе координат. Для решения этой метрической задачи докажем теорему:

Теорема 1. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат даны координаты точки и уравнение прямой , причем . Тогда расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:

.

□ (рис. 63) или или . Тогда

.

Так как , то

, т.к. . Тогда . Вычислим .

Пусть  координаты точки , тогда . Поэтому .

, откуда и получаем формулу

. ■

2. Направленный угол между двумя прямыми на ориентированной плоскости.

Две пересекающиеся прямые образуют на плоскости четыре угла. Углом между пересекающимися прямыми называется величина того из углов, который не превосходит остальные. Угол между прямыми и будем обозначать так: . Таким образом, для любых пересекающихся прямых и

.

На ориентированной плоскости вводится понятие направленного (ориентированного) угла между двумя прямыми.

Пусть  первая,  вторая прямая и .

Н аправленным углом между прямой и прямой называется направленный угол между направляющими векторами и , выбранными так, что (рис. 64).

Обратите внимание, что:

• направляющие векторы прямых и берутся не произвольно, а так, что

величина угла между ними (обычного, не направленного) не превосходит ;

• понятие направленного угла между прямыми определяется через понятие направленного угла между векторами.

Примем следующее обозначение направленного угла между прямой и прямой : . В этой записи имеет значение порядок прямых.

Из определения направленного угла между прямыми следует, что

.

Если не перпендикулярна , то ; если , то или .

Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема 2. Если в ортонормированном базисе даны координаты любых направляющих векторов и прямых и , не являющихся взаимно перпендикулярными, то

.

Для решения задач более важными являются два следствия из этой теоремы.

Следствие 1. Пользуясь теоремой 2, выведем формулу для вычисления и условие перпендикулярности прямых и , если и заданы общими уравнениями.

; .

Тогда .

а) Если не перпендикулярна , то

.

Записав числитель в виде определителя, получим

.

б) Если , то учитывая, что тогда и только тогда, когда , получаем условие перпендикулярности двух прямых:

.

Следствие 2. Пусть прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: ; . Тогда (координаты направляющих векторов и находятся после приведения уравнений прямых и к общему виду).

а) Если не перпендикулярна , то

, т.е. .

б) .

Иногда удобно пользоваться следующей записью:

.

Задания для самостоятельной работы

1. Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя параллельными прямыми и .

2. Вычислите расстояние от точки до прямой .

3. Найдите тангенс направленного угла между прямой и прямой .

4. Выведите условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями в «отрезках».

Плоскости и прямые в пространстве

Лекция 11

Плоскость в аффинной системе координат