Алгебраические свойства смешанного умножения векторов

А1⁰. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанного произведения, т.е. V.

Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак смешанного произведения на противоположный, т.е.

, V.

Для доказательства достаточно применить доказательство свойства Г2⁰ к и к . Параллелепипед будет тот же, только за основание будет принята другая грань (в первом случае – построенная на векторах и , во втором – на векторах и ).

Чтобы доказать вторую часть свойства, надо воспользоваться определением смешанного произведения и свойством А1⁰ векторного умножения, а затем совершить циклическую перестановку:

.

А2⁰. V .

Для доказательства этого свойства нужно доказать три равенства:

; ; .

Докажите их самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.

А3⁰. ;

;

.

Докажите эти равенства самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.

Замечание. Смешанное произведение .

, т.к. .

Теорема 1(смешанное произведение в координатах). Если , , в базисе , , , то .

.

Применение смешанного произведения трех векторов

Смешанное произведение векторов применяется:

1. Для выяснения компланарности трех векторов:

векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда .

2. Для вычисления объема параллелепипеда: (рис. 27).

3. Для вычисления объема треугольной призмы:

(рис. 28).

4. Для вычисления объема тетраэдра (треугольной пирамиды):

(рис. 29).

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислите , если .

2. Докажите, что если || , то .

3. Выясните, какой является тройка векторов , , (левой или правой).

4. Докажите, что векторы , , , удовлетворяющие условию

,компланарны.

5. Найдите объем треугольной призмы АВСА₁В₁С₁, если , , .

6. Найдите объем тетраэдра ABCD, если , , .

Метод координат

на плоскости и в пространстве

Лекция 7

Аффинная и прямоугольная декартова

системы координат

§10. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой

систем координат

Ч етверка, состоящая из точки О и базиса , , в пространстве, называется аффинной системой координат в пространстве и обозначается или (рис. 30).

Точка О называется началом координат, векторы , , - координатными векторами: - первый координатный вектор, - второй, - третий.

Направленные прямые, на которых положительное направление определяется базисными векторами и которые проходят через точку О, называются координатными осями:

- ось абсцисс;

- ось ординат;

- ось аппликат (рис. 31).

Оси абсцисс, ординат и аппликат обозначаются и так: Ох, Оу, Оz.

Плоскости, определяемые осями Ох и Оу, Оу и Оz, Ох и Оz, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Oxz, а систему координат иногда обозначают Oxyz.

П усть - аффинная система координат, М – произвольная точка пространства. Вектор называется радиус-вектором точки М относительно точки О (рис. 32).

Понятие координат точки вводится на основе понятия координат вектора.

Координатами точки М в системе координат называются координаты ее радиус-вектора в базисе , , .

Обозначение или просто М(х;у;z): х – абсцисса точки М, у – ордината, z – аппликата.

Если в пространстве задана аффинная система координат, то устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками (х;у;z) действительных чисел.

Рассмотрим особенности расположения точки относительно аффинной системы координат, если некоторые ее координаты являются нулевыми. Пусть М(х;у;z).

1) Если z=0, то М(х;у;0)   . Верно и обратное:  z=0.

2) Докажите самостоятельно, что если у=0, то , и наоборот, если , то у=0.

3) Докажите самостоятельно, что если х=0, то , и наоборот, если , то х=0.

4) Если z=0 и у=0, то и   . Верно и обратное:  z=0 и у=0.

Докажите самостоятельно, что:

5) Если х=0 и у=0, то и наоборот, если , то х=0 и у=0.

6) Если х=0 и z=0, то и наоборот, если , то х=0 и z=0.

7) Так как , то из пунктов 1) – 3) следует, что О(0;0;0) в системе координат .

Чтобы построить точку М(х;у;z) по ее координатам в системе координат , надо сначала построить точку М₁(х;0;0), затем точку М₂(х;у;0), а затем точку М(х;у;z). Процесс построения этих точек показан на рис. 33. Ломаная ОМ₁М₂М называется координатной ломаной точки М.

С истема координат называется прямоугольной декартовой, если ее базис является ортонормированным. Обозначение прямоугольной декартовой системы координат: или , где

, , и .

Прямоугольная декартова система координат является частным случаем аффинной.

Замечание. На плоскости аффинная система координат состоит из точки О (начала координат) и двух базисных векторов и (координатных векторов) (рис. 34). Поэтому в системе координат на плоскости любая точка имеет две координаты . Прямоугольная декартова система координат на плоскости изображена на рис. 35.