- •Список рекомендуемой литературы
- •Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§1. Понятие вектора
- •Задания для самостоятельной работы
- •§2. Сложение и вычитание векторов
- •Правило треугольника
- •Правило параллелограмма
- •Правило многоугольника
- •Правило построения разности двух векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •§3. Умножение вектора на число
- •§4. Линейная зависимость векторов и ее свойства
- •Примеры
- •Свойства линейно зависимой системы векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 3 Базис. Координаты вектора
- •§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
- •И их свойства
- •Свойства координат векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
- •§6. Скалярное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства скалярного умножения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
- •Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 5 Нелинейные операции над векторами
- •§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§8. Векторное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства векторного умножения векторов
- •Алгебраические свойства векторного умножения векторов
- •Применение векторного произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •§9. Смешанное произведение трех векторов
- •Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
- •Применение смешанного произведения трех векторов
- •§10. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§11. Основные аффинные и метрические задачи
- •Основные аффинные задачи
- •Основная метрическая задача
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 8 Формулы преобразования координат
- •§12. Преобразование аффинной системы координат
- •Частные случаи преобразования аффинной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
- •Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§14. Полярные координаты
- •Задания для самостоятельной работы
- •Прямая линия на плоскости Лекция 9 Прямая в аффинной системе координат
- •§15. Различные уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •§18. Уравнение прямой, заданной точкой и
- •Задания для самостоятельной работы
- •§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости
- •§20. Различные уравнения плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§21. Общее уравнение плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§22. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
- •§23. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •§24. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
- •§25. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§26. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
§3. Умножение вектора на число
Рассмотрим еще одну линейную операцию над векторами – умножение вектора на число. Результатом этой операции является произведение вектора на число.
Произведением вектора на действительное число называется вектор , обозначаемый через и удовлетворяющий двум условиям:
его длина ;
если 0, то ; если <0, то .
Алгоритм построения произведения вектора число таков.
Берем произвольную точку М. Проводим луч , сонаправленный с вектором , если 0, и противоположно направленный с вектором , если <0. На луче от начала М откладываем отрезок MP, длина которого в раз больше длины вектора . Вектор - искомый вектор .
Продемонстрируем этот алгоритм на конкретном примере. Построим вектор , если - данный вектор.
Возьмем произвольную точку А. Так как <0, то проводим луч (рис. 7). На луче строим такую точку С, что . Тогда - искомый вектор.
Свойства умножения вектора на число
10. и .
20. .
30. .
40. .
Теорема 1 (о коллинеарных векторах). Пусть . Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое действительное число , что .
Т еорема 2 (о компланарных векторах). Пусть || . Векторы компланарны тогда и только тогда, когда существуют такие действительные числа и , что .
Задания для самостоятельной работы
1. Начертите произвольный вектор . Постройте векторы .
2. Даны векторы и . Постройте векторы .
3. Упростите выражение .
4. Будут ли векторы и коллинеарны и почему, если ?
5. Будут ли векторы и компланарны и почему?
Лекция 2
Линейная зависимость векторов
§4. Линейная зависимость векторов и ее свойства
Линейной комбинацией векторов называется вектор , где .
Примеры линейных комбинаций:
1. Вектор есть линейная комбинация векторов (здесь ).
2. Вектор есть линейная комбинация векторов (здесь ).
Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие действительные числа , не все равные 0 одновременно, что выполняется векторное равенство:
.
Если равенство выполняется только при , то система векторов называется линейно независимой.
Примеры
1. Система векторов линейно зависима, т.к. если возьмем , то получим, что , т.е. существуют такие действительные числа , не все равные 0 одновременно ( ), что выполняется равенство .
2. Система двух неколлинеарных векторов и линейно независима, т.к. сумма двух неколлинеарных векторов и равна нулевому вектору только при .
Свойства линейно зависимой системы векторов
10. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
□ Пусть система, состоящая из одного вектора , линейно зависима. Докажем, что вектор .
Из определения линейно зависимой системы следует, что существует такое, что . Так как первый сомножитель в левой части не равен 0, то второй сомножитель должен быть нулевым вектором, т.е. .
Пусть, обратно, . Докажем, что система, состоящая из одного вектора , линейно зависима. Левую часть равенства можно записать в виде , следовательно, , т.е. существует такое, что . По определению линейно зависимой системы векторов система линейно зависима. ■
20. При n>1 система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.
□ Пусть система векторов линейно зависима. Докажем, что один из ее векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.
По определению линейно зависимой системы векторов существуют числа , не все равные 0 одновременно, такие, что
.
Пусть для определенности , где к – одно из чисел 1, 2, ...,n. Перенесем все слагаемые, кроме , из левой части равенства в правую и разделим обе части равенства на :
.
Следовательно, вектор есть линейная комбинация векторов .
Пусть теперь один из векторов системы , например, , является линейной комбинацией векторов . Докажем, что система векторов линейно зависима.
По условию . Перенесем в правую часть и поставим это слагаемое между и :
.
Таким образом, существуют такие числа , не все равные 0 одновременно, что выполняется векторное равенство
.
Следовательно, система векторов линейно зависима. ■
30. Если часть данной системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
□ Пусть дана система векторов и известно, что ее подсистема <n, линейно зависима. Тогда существуют такие числа , причем , что .
Тогда ,
т.е. нашлись числа , причем , следовательно, система линейно зависима. ■
40. Система линейно независимых векторов не содержит нулевого вектора.
□ Пусть система линейно независима. Предположим, что она содержит . По свойству 10 система линейно зависима. Тогда по свойству 30 вся система линейно зависима. Получили противоречие с условием. ■
50. Если система векторов линейно независима, то любая ее часть линейно независима.
□ Предположим, что существует часть данной системы, являющаяся линейно зависимой. Тогда по свойству 30 вся данная система должна быть линейно зависимой. Получили противоречие с условием. ■
60. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда || .
□ Пусть система векторов линейно зависима. Тогда по свойству 20 или , или . По теореме о коллинеарных векторах || .
Пусть || . Если один из векторов нулевой, например, , то по свойству 40 система , линейно зависима. Если , то по теореме о коллинеарных векторах . Так как , то система векторов линейно зависима. ■
Аналогично, пользуясь теоремой о компланарных векторах, можно доказать свойство
70. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.