Задания для самостоятельной работы
Можно ли пользоваться уравнениями (28)-(30) в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве и почему?
Найдите тремя способами уравнение каждой из осей
и
аффинной системы координат
(каноническое, параметрическое уравнения
и уравнение оси как линии пересечения
координатных плоскостей).Дано каноническое уравнение прямой . Приведите его к виду (33).
Дано параметрическое уравнение (32) прямой . Приведите его к виду (33).
Дано уравнение (33) прямой . Получите из него каноническое и параметрическое уравнения прямой .
Докажите, что уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно прямым
и
может быть представлено в следующем
виде:
.
Докажите, что если две прямые
и
пересекаются, то уравнение плоскости,
в которой они лежат, может быть
представлено в следующем виде:
.
Докажите, что уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой
может быть представлено в следующем
виде:
.
§25. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Возможны четыре
случая взаимного расположения двух
прямых
и
в пространстве: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
совпадает с
.
Пусть прямая
задана точкой
и направляющим вектором
,
точкой
и направляющим вектором
.
Тогда взаимное расположение двух прямых
и
можно определить по векторам
и
.
Замечание.
Прямые
и
лежат в одной плоскости тогда и только
тогда, когда векторы
и
компланарны, т.е. смешанное произведение
.
Учитывая сделанное замечание, выведем условия взаимного расположения двух прямых в пространстве.
1) , если не существует плоскости, содержащей одновременно обе эти прямые (рис. 75). Следовательно,
.
2) Если прямые и пересекаются, т.е. , то они лежат в одной плоскости и их направляющие векторы неколлинеарны (рис. 76). Следовательно,
3
)
(рис. 77).
4)
(рис. 78).
2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Возможны три случая
взаимного расположения прямой
и плоскости
в пространстве: 1)
(
пересекает плоскость
в некоторой точке); 2)
;
3)
.
Пусть в аффинной системе координат прямая задана точкой и направляющим вектором , а плоскость общим уравнением .
1
)
(по лемме о параллельности вектора и
плоскости) (рис. 79). Итак,
.
Чтобы найти координаты точки пересечения и , надо решить систему уравнений прямой и плоскости .
2)
и
(рис. 80), т.е.
3)
и
(рис. 81), т.е.
3. Связка прямых в пространстве.
Связкой прямых в пространстве с центром в точке называется множество всех прямых, проходящих через точку . Параметрическое уравнение связки прямых с центром имеет вид:
где
произвольные действительные числа, не
равные нулю одновременно.
4. Связка прямых и плоскостей.
Объединение связки прямых в пространстве с центром и связки плоскостей в пространстве с центром называется связкой прямых и плоскостей с центром .
Каждые две (различные) плоскости связки пересекаются по прямой связки, и каждая прямая связки является осью пучка плоскостей связки. Следовательно, множество прямых, по которым пересекаются плоскости связки, есть связка прямых с центром .