- •Список рекомендуемой литературы
- •Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§1. Понятие вектора
- •Задания для самостоятельной работы
- •§2. Сложение и вычитание векторов
- •Правило треугольника
- •Правило параллелограмма
- •Правило многоугольника
- •Правило построения разности двух векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •§3. Умножение вектора на число
- •§4. Линейная зависимость векторов и ее свойства
- •Примеры
- •Свойства линейно зависимой системы векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 3 Базис. Координаты вектора
- •§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
- •И их свойства
- •Свойства координат векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
- •§6. Скалярное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства скалярного умножения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
- •Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 5 Нелинейные операции над векторами
- •§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§8. Векторное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства векторного умножения векторов
- •Алгебраические свойства векторного умножения векторов
- •Применение векторного произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •§9. Смешанное произведение трех векторов
- •Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
- •Применение смешанного произведения трех векторов
- •§10. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§11. Основные аффинные и метрические задачи
- •Основные аффинные задачи
- •Основная метрическая задача
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 8 Формулы преобразования координат
- •§12. Преобразование аффинной системы координат
- •Частные случаи преобразования аффинной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
- •Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§14. Полярные координаты
- •Задания для самостоятельной работы
- •Прямая линия на плоскости Лекция 9 Прямая в аффинной системе координат
- •§15. Различные уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •§18. Уравнение прямой, заданной точкой и
- •Задания для самостоятельной работы
- •§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости
- •§20. Различные уравнения плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§21. Общее уравнение плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§22. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
- •§23. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •§24. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
- •§25. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§26. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
1. Перенос начала: , .
-
.
Поворот координатных векторов на угол : , .
Задания для самостоятельной работы
Определите (приближенно), чему равна величина направленного угла (рис. 47, а, б).
Может ли величина направленного угла между векторами быть равна ? ? ? Почему?
Найдите формулы преобразования прямоугольной системы координат, если координатные векторы повернуты на угол , а начало координат перенесено в точку .
Как по формулам преобразования координат узнать, какая система координат подвергается преобразованию: аффинная или прямоугольная?
Сделайте чертежи старой и новой систем координат для частных случаев преобразования прямоугольной декартовой системы координат.
§14. Полярные координаты
Если указано правило, по которому положение точек плоскости можно определить с помощью упорядоченных пар действительных чисел, то говорят, что на плоскости задана система координат. Кроме аффинной системы координат, которая была рассмотрена в §10, в математике часто применяют полярную систему координат на плоскости.
Система полярных координат вводится на ориентированной плоскости.
Пара, состоящая из точки О и единичного вектора , называется полярной системой координат и обозначается или . Направленная прямая называется полярной осью, точка О - полюсом (рис. 48).
П
О
. |
Н аправленный угол называется полярным углом точки М (рис. 49).
. |
П олярный радиус и полярный угол называются полярными координатами точки М.
На рис. 50 построены точки , , по их полярным координатам.
Выведем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным декартовым и обратно.
Пусть - полярная система координат на ориентированной плоскости, , в . Присоединим к полярной системе единичный вектор , ортогональный вектору так, чтобы базис , был правым (рис. 51).
, .
Пусть М(х;у) в . Тогда ; (рис. 51).
|
Возведем обе части этих равенств в квадрат и сложим:
, откуда (корень берется со знаком «+», т.к. ). ; .
, , . |
З амечание. При решении задач на переход от прямоугольных декартовых координат к полярным недостаточно найти только или только , т.к. по одной тригонометрической функции определить полярный угол однозначно невозможно: в промежутке существуют два угла с одинаковыми косинусами (два угла с одинаковыми синусами) (рис. 52). Поэтому правильно найти полярный угол вы сможете, только если одновременно вычислите и .