§21. Общее уравнение плоскости
Теорема 1.
Плоскость есть поверхность первого
порядка, т.е. задается в аффинной системе
координат уравнением первой степени
,
где
не равны нулю одновременно. Обратно,
поверхность в пространстве, заданная
в аффинной системе координат уравнением
первой степени
(где
не равны нулю одновременно), есть
плоскость.
□ Пусть плоскость
задана точкой
и двумя неколлинеарными векторами
и
,
т.е.
.
Найдем ее уравнение.
;
;
.
Положим
,
,
,
.
Тогда
.
Так как векторы
и
неколлинеарны, то их соответствующие
координаты не пропорциональны,
следовательно,
,
и
одновременно, т.е.
одновременно.
Докажем обратное
утверждение. Пусть некоторая поверхность
задана уравнением
,
где
не равны нулю одновременно. Докажем,
что
плоскость.
Пусть для
определенности
.
Найдем уравнение плоскости
,
заданной точкой
и двумя неколлинеарными векторами
и
.
;
;
;
разделив обе части полученного уравнения
на
,
получим:
.
Итак, уравнение поверхности в точности совпадает с уравнением плоскости , следовательно, совпадает с , т.е. плоскость.
Если
,
то
или
.
Аналогичными рассуждениями убеждаемся,
что
плоскость. ■
Уравнение (где не равны нулю одновременно) называется общим уравнением плоскости. Переменные х, у, z называются текущими координатами произвольной точки плоскости.
Задания для самостоятельной работы
Можно ли пользоваться общим уравнением плоскости в прямоугольной декартовой системе координат и почему?
Выведите в аффинной системе координат уравнение
плоскости, проходящей через точку
.Дано общее уравнение плоскости , в котором все коэффициенты при х, у и z и свободный член отличны от нуля. Получите из него уравнение плоскости «в отрезках».
Дано параметрическое уравнение плоскости. Получите из него общее уравнение плоскости.
Дано общее уравнение плоскости. Получите из него параметрическое уравнение плоскости.
Какая поверхность в пространстве задается в аффинной системе координат уравнением: а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
?
§22. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
1. Взаимное расположение двух плоскостей.
Выяснить взаимное расположение двух плоскостей позволяет следующая теорема:
Теорема 1.
Пусть в аффинной системе координат
плоскости
и
заданы общими уравнениями:
,
.
или
;
(коэффициенты при
х,
у,
z
пропорциональны, а свободные члены им
не пропорциональны);
.
2. Взаимное расположение трех плоскостей.
Вопрос о взаимном
расположении трех плоскостей
,
и
сводится к исследованию вопроса о
взаимном расположении трех пар плоскостей:
и
,
и
,
и
.
Возможны восемь случаев взаимного расположения этих плоскостей:
(рис. 69, а);
(рис. 69, б);
(рис. 69, в);
(следовательно,
)
(рис. 69, г);
(следовательно,
)
(рис. 69, д);
(рис. 69, е);
(рис. 69, ж);
(рис. 69, з).
3. Геометрический
смысл знака многочлена
.
Теорема 2.
Если в аффинной системе координат
плоскость
задана уравнением
,
то два полупространства, на которые эта
плоскость разбивает пространство,
определяются условиями
и
.
4. Пучок и связка плоскостей.
Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую . Прямая называется осью этого пучка.
Пусть
.
Тогда уравнение пучка плоскостей с осью
имеет вид:
,
где
не равны нулю одновременно.
Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же точку . Точка называется центром связки.
Пусть
.
Тогда уравнение связки плоскостей имеет
вид:
,
где
и
не равны нулю одновременно.