- •Список рекомендуемой литературы
- •Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§1. Понятие вектора
- •Задания для самостоятельной работы
- •§2. Сложение и вычитание векторов
- •Правило треугольника
- •Правило параллелограмма
- •Правило многоугольника
- •Правило построения разности двух векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •§3. Умножение вектора на число
- •§4. Линейная зависимость векторов и ее свойства
- •Примеры
- •Свойства линейно зависимой системы векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 3 Базис. Координаты вектора
- •§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
- •И их свойства
- •Свойства координат векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
- •§6. Скалярное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства скалярного умножения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
- •Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 5 Нелинейные операции над векторами
- •§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§8. Векторное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства векторного умножения векторов
- •Алгебраические свойства векторного умножения векторов
- •Применение векторного произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •§9. Смешанное произведение трех векторов
- •Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
- •Применение смешанного произведения трех векторов
- •§10. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§11. Основные аффинные и метрические задачи
- •Основные аффинные задачи
- •Основная метрическая задача
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 8 Формулы преобразования координат
- •§12. Преобразование аффинной системы координат
- •Частные случаи преобразования аффинной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
- •Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§14. Полярные координаты
- •Задания для самостоятельной работы
- •Прямая линия на плоскости Лекция 9 Прямая в аффинной системе координат
- •§15. Различные уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •§18. Уравнение прямой, заданной точкой и
- •Задания для самостоятельной работы
- •§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости
- •§20. Различные уравнения плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§21. Общее уравнение плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§22. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
- •§23. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •§24. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
- •§25. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§26. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
Может ли полярный угол быть равным ? ? ? ? Почему?
Постройте точки , , .
Найдите прямоугольные декартовы координаты точки .
Известны прямоугольные декартовы координаты точки . Не выполняя построения точки Q, найдите ее полярные координаты.
Выведите формулу расстояния между двумя точками и , заданными полярными координатами.
Прямая линия на плоскости Лекция 9 Прямая в аффинной системе координат
§15. Различные уравнения прямой
Говорят, что уравнение есть уравнение линии , если выполняются два условия:
если точка принадлежит линии , то ее координаты удовлетворяют уравнению ;
если координаты точки удовлетворяют уравнению , то .
Заметим, что условие 2) можно заменить на эквивалентное ему условие 2*):
2*) если , то ее координаты не удовлетворяют уравнению .
Линия на плоскости называется алгебраической, если в какой-либо аффинной системе координат уравнение этой линии можно представить в , где многочлен от переменных и , т.е. сумма членов вида , .
Число называется степенью члена , где .
Наивысшая степень членов многочлена называется степенью этого многочлена. Например, степень многочлена равна 7.
Порядком алгебраической линии, заданной уравнением , называется степень многочлена .
Из школьного курса известно, что прямая линия является линией первого порядка, а окружность, гипербола и парабола – линиями второго порядка.
Рассмотрим на плоскости прямую линию. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором. Направляющий вектор прямой будем обозначать через . Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов. Любые два из них коллинеарны (рис. 53).
Прямая на плоскости однозначно задается точкой и направляющим вектором или двумя точками.
Выведем несколько уравнений прямой на плоскости в аффинной системе координат .
Каноническое уравнение прямой.
Пусть прямая задана точкой и направляющим вектором (рис. 54). Этот факт будем обозначать так: .
Если точка принадлежит прямой , то . Находим координаты вектора . Далее применяем условие коллинеарности двух векторов в координатах (см. § 5, свойство координат векторов 50):
, если ;
, если ;
, если .
Е сли , то || . Следовательно,
, если ;
, если ;
, если .
И
(если ); (10)
Каждое из уравнений (10), (11) и (12) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.
В уравнениях (10)-(12) координаты фиксированной точки прямой ; координаты направляющего вектора прямой ; текущие координаты произвольной точки прямой .
2. Параметрическое уравнение прямой.
Пусть прямая задана точкой и направляющим вектором .
(рис. 54) (по теореме о коллинеарных векторах).
З
или (13)
Система уравнений (13) называется параметрическим уравнением прямой на плоскости. Действительное число называется параметром. Геометрический смысл параметра состоит в следующем: для любой точки существует единственный параметр , удовлетворяющий уравнениям (13), и обратно, и .
3. Уравнение прямой, заданной двумя точками.
Пусть (рис. 55). Тогда в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор , т.е.
.
Т
(14)
Уравнение (14) называется уравнением прямой, заданной на плоскости двумя точками и .
Заметим, что если или , то применяем частные случаи (11) или (12) канонического уравнения прямой.
4. Уравнение прямой в «отрезках».
П усть прямая пересекает ось аффинной системы координат в точке , ось в точке , где (рис. 56).
Применяя уравнение прямой, заданной двумя точками А и В, получим:
;
; ,
откуда получаем уравнение:
(15)
Уравнение (15) называется уравнением прямой «в отрезках».
Геометрический смысл а и в в уравнении прямой «в отрезках»: а – это абсцисса точки пересечения прямой с осью , в – ордината точки пересечения прямой с осью аффинной системы координат.
5. Уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.
П усть прямая, не параллельная оси (рис. 57), направляющий вектор прямой . Так как || , а , то || . Следовательно, || . Поэтому (см. условие коллинеарности векторов в координатах).
Число называется угловым коэффициентом прямой .
Угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора этой прямой (попробуйте доказать это самостоятельно).
З амечание. Если прямая задана в прямоугольной системе координат , то имеет простой геометрический смысл: , где угол наклона прямой к оси , т.е. направленный угол (рис. 58).
Пусть прямая задана точкой и угловым коэффициентом . Запишем каноническое уравнение прямой :
и преобразуем его: ; ; учитывая, что , получим:
(16)
Уравнение (16) называется уравнением прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.
6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть угловой коэффициент прямой . Применяя уравнение (16), получим: , т.е.
. (17)
Уравнение (17) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
В уравнении (17) в – это ордината точки пересечения прямой с осью .